प्रायिकता के योग एवं गुणन प्रमेयों को उदाहरण सहित स्पष्ट कीजिए।

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आदर्श उत्तर

प्रायिकता (Probability) के योग एवं गुणन प्रमेय:

  1. प्रायिकता का योग प्रमेय (Addition Theorem of Probability):
    • परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually Exclusive Events): यदि घटना A और B एक साथ घटित नहीं हो सकतीं (A ∩ B = Φ), तो:
      P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
      उदाहरण: ताश की गड्डी में से एक पत्ता खींचने पर उसके 'पान का पत्ता' (P(A)=13/52) या 'हुकुम का पत्ता' (P(B)=13/52) होने की प्रायिकता = 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2।
    • गैर-अपवर्जी घटनाएँ (Non-Mutually Exclusive Events): यदि दोनों घटनाएँ एक साथ घटित हो सकती हैं:
      P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
  2. प्रायिकता का गुणन प्रमेय (Multiplication Theorem of Probability):
    • स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events): जब एक घटना के घटित होने का प्रभाव दूसरी घटना पर नहीं पड़ता:
      P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
      उदाहरण: एक सिक्का और एक पासा एक साथ फेंकने पर सिक्के पर 'चित (Head)' (1/2) और पासे पर 'संख्या 6' (1/6) आने की प्रायिकता = (1/2) × (1/6) = 1/12।
    • आश्रित घटनाएँ (Dependent Events / सप्रतिबंध प्रायिकता):
      P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)

In English (Question & Model Answer)

Explain with examples addition and multiplication theorems of probability.

Addition and Multiplication Theorems of Probability with Illustrations:

  1. Addition Theorem of Probability:
    • For Mutually Exclusive Events (Events cannot occur simultaneously, A ∩ B = ∅):
      P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
      Illustration: In drawing a single card from a 52-card deck, probability of getting a Diamond (P(A)=13/52) OR a Spade (P(B)=13/52) = 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2.
    • For Non-Mutually Exclusive Events:
      P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
  2. Multiplication Theorem of Probability:
    • For Independent Events (Occurrence of one does not alter probability of the other):
      P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
      Illustration: Tossing a fair coin and rolling a die simultaneously; probability of getting a 'Head' (1/2) AND a '6' on the die (1/6) = (1/2) × (1/6) = 1/12.
    • For Dependent Events (Conditional Probability):
      P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
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