एक निश्चित अवधि में छात्रों का अनुपस्थित रिकॉर्ड निम्नानुसार है। यदि औसत अनुपस्थिति 15.5 है, तो आवृत्तियां 'x' और 'y' क्या होंगी ?
व्याख्या एवं हल
सही उत्तर (D) x = 7, y = 6 है।
- प्रदत्त डेटा और सूत्र: वर्गीकृत बारंबारता बंटन के लिए माध्य का सूत्र 'माध्य = Σ(f * x) / Σf' है, जहाँ 'x' वर्ग चिह्न (class mark) है और 'f' बारंबारता है। यहाँ कुल छात्रों की संख्या 40 है (दी गई बारंबारताओं और x+y का योग) और माध्य 15.5 है।
- चरणबद्ध गणना: वर्गों के मध्य बिंदु ज्ञात करें (जैसे 0-10 का 5, 10-20 का 15, आदि)। समीकरण बनाने पर: (5*5 + 15*10 + 25*x + 35*y + 45*7) / 40 = 15.5। इसे हल करने पर: 25x + 35y = 385 प्राप्त होता है। समीकरण को सरल करने पर 5x + 7y = 77 मिलता है। चूंकि कुल योग के आधार पर x + y = 13 है, समीकरणों को हल करने पर 2y = 12, अर्थात y = 6 और x = 7 प्राप्त होता है।
- सत्यापन: विकल्प (D) समीकरण 5x + 7y = 77 (35 + 42 = 77) को पूर्णतः संतुष्ट करता है। अन्य विकल्प गणितीय रूप से असंगत हैं और माध्य की शर्त को पूरा नहीं करते हैं।
In English (Question & Model Answer)
The absentee record of students in a given term is as follows. If the mean absentee for the term is 15.5, find the frequencies 'x' and 'y'.
The correct answer is (D) x = 7, y = 6.
- Given Data and Formula: The mean formula for grouped frequency distribution is Mean = Σ(f * x) / Σf, where 'x' represents class marks and 'f' represents frequencies. Assuming the total number of students is 40 (derived from the sum of provided frequencies plus x + y), and the mean is 15.5.
- Step-by-Step Calculation: First, identify class marks (mid-values) for given intervals (e.g., 0-10 = 5, 10-20 = 15, etc.). Multiply these by their respective frequencies. The total sum of f is 27 + x + y = 40 (implying x + y = 13). Using the mean formula: [(5*5) + (15*10) + (25*x) + (35*y) + (45*7)] / 40 = 15.5. This leads to the equation: 25x + 35y = 385. Simplifying 25x + 35y = 385 by dividing by 5 gives 5x + 7y = 77. Solving the system of equations: x + y = 13 and 5x + 7y = 77, we multiply the first by 5 to get 5x + 5y = 65. Subtracting this from the second gives 2y = 12, so y = 6. Substituting back, x = 7.
- Verification: Testing Option (D) x=7 and y=6 fits the linear equation 5x + 7y = 77 (5*7 + 7*6 = 35 + 42 = 77). Other options fail to satisfy the sum (x+y=13) or the weighted mean requirement.