अजय, वरुण के पश्चिम दिशा में 1 कि.मी. की दूरी पर खड़ा है। अजय उत्तर दिशा में चलना शुरू करता है, जबकि वरुण उत्तर-पश्चिम दिशा में चलना शुरू करता है। दोनों 20 मिनट बाद मिलते हैं। वरुण की गति का अजय की गति से अनुपात कितना है?
व्याख्या एवं हल
सही उत्तर (A) √2 है।
- दिया गया है: अजय (0,0) पर है और वरुण (1,0) पर है। अजय उत्तर की ओर vA चाल से और वरुण उत्तर-पश्चिम दिशा (45 अंश का कोण) में vV चाल से 20 मिनट (t) तक चलते हैं।
- मिलन बिंदु पर, दोनों के निर्देशांक समान होंगे। x-अक्ष पर: 0 = 1 - (vV*t*cos45°) => vV*t = √2 किमी। y-अक्ष पर: yA = vV*t*sin45° => vA*t = √2 * (1/√2) = 1 किमी। वरुण की चाल का अजय की चाल से अनुपात: (vV*t) / (vA*t) = √2 / 1 = √2।
- सत्यापन: ज्यामितीय रूप से, वरुण द्वारा तय की गई दूरी 1 किमी उत्तर और 1 किमी पश्चिम के आधार वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जो √2 किमी है। चूंकि समय समान है, इसलिए गति का अनुपात दूरियों के अनुपात के बराबर होगा। अतः √2 सही विकल्प है।
In English (Question & Model Answer)
Ajay is standing west to Varun at a distance of 1 km. Ajay starts walking in the north direction, whereas Varun starts walking in the north-west direction. Both meet after 20 minutes. The ratio of speed of Varun to that of Ajay is
The correct answer is (A) √2.
- Given: Ajay is at (0,0) and Varun is at (1,0) in a Cartesian plane (distance = 1 km). Ajay walks North (y-axis) at speed vA for 20 minutes, reaching (0, yA). Varun walks North-West (45-degree angle to the x-axis) at speed vV for 20 minutes, reaching (1 - vV*t*cos(45), vV*t*sin(45)). Let t = 20 minutes.
- At the meeting point, their coordinates must be identical. Therefore: x-coordinate: 0 = 1 - vV*t*(1/√2) => vV*t = √2 km. y-coordinate: yA = vV*t*(1/√2) => yA = √2*(1/√2) = 1 km. Since yA = vA*t = 1 km and vV*t = √2 km, the ratio of speeds is vV/vA = (vV*t)/(vA*t) = √2 / 1 = √2.
- Verification: The distance covered by Varun is the hypotenuse of a right-angled triangle with legs of 1 km (North) and 1 km (West). The distance is √(1^2 + 1^2) = √2 km. Since time is constant, the ratio of speeds equals the ratio of distances covered: √2 : 1. Other options are incorrect as they do not satisfy the geometric meeting condition.