A, B and C try to hit a target. A can hit the target 3 times in 5 shots, B, 2 times in 5 shots and C, 3 times in 4 shots. Find the probability of the following events :
(a) Any two of them hit
(b) At least two of them hit
Model Answer
Step-by-Step Probability Solution:
- Given Independent Probabilities:
- P(A hits) = 3/5 ⇒ P(A misses, A') = 2/5
- P(B hits) = 2/5 ⇒ P(B misses, B') = 3/5
- P(C hits) = 3/4 ⇒ P(C misses, C') = 1/4
- (a) Probability that Exactly Any Two of Them Hit the Target:
- Case 1 (A and B hit, C misses): (3/5) × (2/5) × (1/4) = 6/100
- Case 2 (A and C hit, B misses): (3/5) × (3/5) × (3/4) = 27/100
- Case 3 (B and C hit, A misses): (2/5) × (2/5) × (3/4) = 12/100
- P(Exactly 2 hit) = (6 + 27 + 12) / 100 = 45 / 100 = 9 / 20 = 0.45
- (b) Probability that At Least Two of Them Hit the Target:
- P(At least 2 hit) = P(Exactly 2 hit) + P(All 3 hit)
- P(All 3 hit) = P(A) × P(B) × P(C) = (3/5) × (2/5) × (3/4) = 18/100
- P(At least 2 hit) = (45 + 18) / 100 = 63 / 100 = 0.63
Final Answers: (a) 9/20 (0.45); (b) 63/100 (0.63).
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
A, B और C किसी एक लक्ष्य को भेदने की कोशिश करते हैं। A, लक्ष्य को 5 प्रयास में 3 बार, B, 5 प्रयास में 2 बार एवं C, 4 प्रयास में 3 बार भेद सकता है। निम्न घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :
(अ) उनमें से कोई दो लक्ष्य भेदें
(ब) कम से कम दो लक्ष्य भेदें
प्रायिकता (Probability) समस्या का चरणबद्ध हल:
- दी गई प्रायिकताएँ:
- A द्वारा लक्ष्य भेदने की प्रायिकता: P(A) = 3/5 ⇒ न भेदने की: P(A') = 1 - 3/5 = 2/5
- B द्वारा लक्ष्य भेदने की प्रायिकता: P(B) = 2/5 ⇒ न भेदने की: P(B') = 1 - 2/5 = 3/5
- C द्वारा लक्ष्य भेदने की प्रायिकता: P(C) = 3/4 ⇒ न भेदने की: P(C') = 1 - 3/4 = 1/4
- (अ) उनमें से ठीक कोई दो (Exactly Two) लक्ष्य भेदें:
- संभावित 3 स्थितियाँ (स्वतंत्र घटनाएँ):
1. A और B भेदें, C चूके: P(A ∩ B ∩ C') = (3/5) × (2/5) × (1/4) = 6/100
2. A और C भेदें, B चूके: P(A ∩ B' ∩ C) = (3/5) × (3/5) × (3/4) = 27/100
3. B और C भेदें, A चूके: P(A' ∩ B ∩ C) = (2/5) × (2/5) × (3/4) = 12/100 - कुल प्रायिकता = (6 + 27 + 12) / 100 = 45 / 100 = 9 / 20 = 0.45
- संभावित 3 स्थितियाँ (स्वतंत्र घटनाएँ):
- (ब) कम से कम दो (At least Two) लक्ष्य भेदें:
- P(कम से कम 2) = P(ठीक 2 भेदें) + P(तीनों भेदें)
- तीनों द्वारा लक्ष्य भेदने की प्रायिकता: P(A ∩ B ∩ C) = (3/5) × (2/5) × (3/4) = 18/100
- कुल प्रायिकता = 45/100 + 18/100 = 63 / 100 = 0.63
उत्तर: (अ) कोई दो लक्ष्य भेदें = 9/20 (0.45); (ब) कम से कम दो लक्ष्य भेदें = 63/100 (0.63)।