From a fixed point, A and B start walking in opposite directions. A covers 5 km and B covers 7 km. Then A turns right and walks 8 km, while B turns left and walks 3 km. How far are they from each other?
Explanation & Solution
The correct answer is (C) 13 km.
- Concept & Initial Positions: Let the starting point be origin O (0, 0). A and B walk in opposite directions. Let A move towards the East and B move towards the West. A covers 5 km (reaching position (5, 0)) and B covers 7 km (reaching position (-7, 0)).
- Directional Turns & Final Coordinates: From (5, 0), A turns right (facing South) and walks 8 km, reaching coordinates (5, -8). From (-7, 0), B turns left (facing South) and walks 3 km, reaching coordinates (-7, -3). The horizontal distance between their final points is 5 - (-7) = 12 km. The vertical difference between their final coordinates is -8 - (-3) = -5 km (magnitude 5 km). Using the distance formula: d = √(12^2 + (-5)^2) = √(144 + 25) = √(169) = 13 km.
- Verification & Option Analysis: The calculated shortest straight-line distance is exactly 13 km. Options (A) 11 km, (B) 12 km, and (D) 14 km are mathematically incorrect as they fail to account for the Pythagorean hypotenuse formed by the horizontal and vertical separations.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
एक निश्चित बिन्दु से, A एवं B विपरीत दिशा में चलना प्रारंभ करते हैं। A, 5 किमी तथा B, 7 किमी चलता है। तब A दाएँ मुड़कर 8 किमी चलता है, जबकि B बाएँ मुड़कर 3 किमी चलता है। वे एक-दूसरे से कितनी दूरी पर हैं?
सही उत्तर (C) 13 किमी है।
- संकल्पना एवं प्रारंभिक स्थितियाँ: मान लीजिए कि निश्चित बिंदु मूल बिंदु O (0, 0) है। A और B विपरीत दिशाओं में चलना शुरू करते हैं। मान लेते हैं A पूर्व दिशा में और B पश्चिम दिशा में चलता है। A, 5 किमी चलता है (स्थिति (5, 0) पर पहुँचता है) और B, 7 किमी चलता है (स्थिति (-7, 0) पर पहुँचता है)।
- दिशा परिवर्तन एवं अंतिम निर्देशांक: (5, 0) से, A दाएँ मुड़ता है (दक्षिण की ओर मुख करके) और 8 किमी चलकर निर्देशांक (5, -8) पर पहुँचता है। (-7, 0) से, B बाएँ मुड़ता है (दक्षिण की ओर मुख करके) और 3 किमी चलकर निर्देशांक (-7, -3) पर पहुँचता है। उनके अंतिम बिंदुओं के बीच क्षैतिज दूरी 5 - (-7) = 12 किमी है। उनके अंतिम निर्देशांकों के बीच ऊर्ध्वाधर अंतर -8 - (-3) = -5 किमी (परिमाण 5 किमी) है। दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर: d = √(12^2 + (-5)^2) = √(144 + 25) = √(169) = 13 किमी।
- सत्यापन एवं विकल्प विश्लेषण: गणना की गई न्यूनतम सीधी रेखा की दूरी ठीक 13 किमी है। विकल्प (A) 11 किमी, (B) 12 किमी, और (D) 14 किमी गणितीय रूप से गलत हैं क्योंकि वे क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दूरियों से बनने वाले पाइथागोरस कर्ण को ध्यान में नहीं रखते हैं।