If the arithmetic mean of first n natural numbers is 100, then n is
Explanation & Solution
The correct answer is (D) 199.
- The arithmetic mean of the first n natural numbers is defined by the formula: Mean = (Sum of first n natural numbers) / n. The sum of the first n natural numbers is given by n(n+1)/2. Therefore, the mean formula simplifies to: Mean = (n(n+1)/2) / n = (n+1) / 2.
- Given that the arithmetic mean is 100, we set up the equation: (n+1) / 2 = 100. Multiplying both sides by 2, we get n+1 = 200. Subtracting 1 from both sides, we find n = 199.
- Verifying the result: The sum of the first 199 natural numbers is (199 * 200) / 2 = 19900. The mean is 19900 / 199 = 100. This confirms the result. Options (A), (B), and (C) yield means of 98.5, 99, and 99.5 respectively, which do not satisfy the condition.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
यदि पहले n प्राकृतिक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 100 है, तो n क्या होगा ?
सही उत्तर (D) 199 है।
- प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करने का सूत्र है: माध्य = (प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग) / n। प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग n(n+1)/2 होता है। अतः, माध्य का सूत्र सरल होकर (n+1) / 2 हो जाता है।
- प्रश्न के अनुसार माध्य 100 है, इसलिए समीकरण होगा: (n+1) / 2 = 100। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, n+1 = 200 प्राप्त होता है। 1 को घटाने पर n = 199 प्राप्त होता है।
- परिणाम की पुष्टि: प्रथम 199 प्राकृतिक संख्याओं का योग (199 * 200) / 2 = 19900 है। इनका माध्य 19900 / 199 = 100 है। यह परिणाम की पुष्टि करता है। विकल्प (A), (B) और (C) क्रमशः 98.5, 99 और 99.5 माध्य प्रदान करते हैं, जो प्रश्न की शर्तों को पूरा नहीं करते हैं।