If the distance between city P and city Q is x km. and the distance between city Q and city R is y km, then the distance between city P and city R is
Explanation & Solution
The correct answer is (C) less than or equal to x + y.
- Given Data & Mathematical Principle: Let P, Q, and R be three cities forming a triangle or a straight line in a plane. According to the triangle inequality theorem in geometry, the sum of the lengths of any two sides of a triangle is always greater than or equal to the length of the third side.
- Step-by-Step Derivation: The distance between P and Q is given as x, and the distance between Q and R is given as y. The distance between P and R forms the third side of the triangle PQR. Therefore, by the triangle inequality theorem, the direct distance PR must satisfy the condition: PR ≤ x + y. If all three cities lie on a straight line in the same order, the distance equals x + y.
- Verification & Option Contrast: Option (A) x + y only represents the collinear case. Option (B) is incorrect because the direct distance can never exceed the sum of the other two sides. Thus, Option (C) covers both the straight-line case (equality) and the triangular case (strictly less than), making it universally correct.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
यदि शहर P और शहर Q के बीच की दूरी x कि.मी. है और शहर Q और शहर R के बीच की दूरी y कि.मी. है, तो शहर P और शहर R के बीच की दूरी है
सही उत्तर (C) x + y से कम या बराबर है।
- दिया गया डेटा और गणितीय सिद्धांत: मान लीजिए P, Q और R तीन शहर हैं जो एक समतल में एक त्रिभुज या सीधी रेखा बनाते हैं। ज्यामिति में त्रिभुज की असमानता (Triangle Inequality) प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से हमेशा अधिक या उसके बराबर होता है।
- चरणबद्ध व्युत्पत्ति: शहर P और Q के बीच की दूरी x दी गई है, और शहर Q और R के बीच की दूरी y दी गई है। शहर P और R के बीच की दूरी त्रिभुज PQR की तीसरी भुजा बनाती है। इसलिए, त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, सीधी दूरी PR को शर्त को संतुष्ट करना होगा: PR ≤ x + y। यदि तीनों शहर एक ही क्रम में एक सीधी रेखा में स्थित हैं, तो दूरी x + y के बराबर होगी।
- सत्यापन और विकल्प विश्लेषण: विकल्प (A) x + y केवल संरेखीय (collinear) स्थिति को दर्शाता है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि सीधी दूरी कभी भी अन्य दो भुजाओं के योग से अधिक नहीं हो सकती। इस प्रकार, विकल्प (C) सीधी रेखा की स्थिति (बराबर) और त्रिभुीय स्थिति (कम) दोनों को शामिल करता है, जो इसे सर्वथा सही बनाता है।