If the sum of two numbers is 9 and the sum of their reciprocals is 1/2, then those numbers will be

20232Mprelimsyear-2023p2
A.(A) 1 and 8
B.(B) 2 and 7
C.(C) 6 and 3Correct
D.(D) 4 and 5
Explanation & Solution

The correct answer is (C) 6 and 3.

  • Given Data: Let the two numbers be xx and yy. According to the question, the sum of the numbers is x+y=9x + y = 9, and the sum of their reciprocals is 1x+1y=121x\frac{1}{x} + 1y\frac{1}{y} = 12\frac{1}{2}.
  • Mathematical Derivation: Simplifying the equation for the sum of reciprocals, we get x+yxy=12x+yxy\frac{x + y}{xy} = 12\frac{1}{2}. Substituting the value of x+y=9x + y = 9 into this equation gives 9xy=129xy\frac{9}{xy} = 12\frac{1}{2}, which results in the product xy=18xy = 18. Now, we need to find two numbers whose sum is 99 and product is 1818. Solving the quadratic equation t2−9t+18=0t^2 - 9t + 18 = 0, we get (t−6)(t−3)=0(t - 6)(t - 3) = 0. Thus, the numbers are 66 and 33.
  • Verification and Option Analysis: For numbers 6 and 3, the sum is 6+3=96 + 3 = 9 and the sum of reciprocals is 16+13=1+26=36=1216\frac{1}{6} + 13\frac{1}{3} = 1+26\frac{1+2}{6} = 36\frac{3}{6} = 12\frac{1}{2}, which satisfies both conditions. Options (A), (B), and (D) fail to yield a reciprocal sum of 1212\frac{1}{2}.

हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर

यदि दो संख्याओं का योग 9 है एवं उनके व्युत्क्रमों का योग 1/2 है, तो वे संख्याएँ होंगी

A.(A) 1 एवं 8
B.(B) 2 एवं 7
C.(C) 6 एवं 3सही
D.(D) 4 एवं 5

सही उत्तर (C) 6 एवं 3 है।

  • दी गई जानकारी: माना कि दो संख्याएँ xx एवं yy हैं। प्रश्नानुसार, संख्याओं का योग x+y=9x + y = 9 है तथा उनके व्युत्क्रमों का योग 1x+1y=121x\frac{1}{x} + 1y\frac{1}{y} = 12\frac{1}{2} है।
  • चरणबद्ध हल: व्युत्क्रमों के समीकरण को सरल करने पर, x+yxy=12x+yxy\frac{x + y}{xy} = 12\frac{1}{2} प्राप्त होता है। इसमें x+y=9x + y = 9 का मान रखने पर 9xy=129xy\frac{9}{xy} = 12\frac{1}{2} प्राप्त होता है, जिससे संख्याओं का गुणनफल xy=18xy = 18 आता है। अब ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका योग 99 और गुणनफल 1818 हो। द्विघात समीकरण t2−9t+18=0t^2 - 9t + 18 = 0 को हल करने पर (t−6)(t−3)=0(t - 6)(t - 3) = 0 प्राप्त होता है। अतः वे संख्याएँ 66 और 33 हैं।
  • सत्यापन एवं विकल्प विश्लेषण: संख्या 6 और 3 के लिए योग 6+3=96 + 3 = 9 है तथा व्युत्क्रमों का योग 16+13=1+26=36=1216\frac{1}{6} + 13\frac{1}{3} = 1+26\frac{1+2}{6} = 36\frac{3}{6} = 12\frac{1}{2} है, जो दोनों शर्तों को पूर्ण करता है। विकल्प (A), (B) और (D) इस शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।
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