When sun's altitude changes from 30° to 60°, the length of the shadow of a tower decreases by 70 m. What is the height of the tower?
Explanation & Solution
The correct answer is (C) 60.6 m.
- Given Data: Let the height of the tower be h. The angle of elevation changes from 30° to 60°. Let the initial shadow length be x and the new length be x - 70. The formula used is tan(θ) = Height / Base.
- Step-by-step Calculation: For 60°, tan(60°) = h / (x - 70) => √3 = h / (x - 70) => x - 70 = h/√3. For 30°, tan(30°) = h / x => 1/√3 = h / x => x = h√3. Substituting x: h√3 - 70 = h/√3. Multiply by √3: 3h - 70√3 = h => 2h = 70√3 => h = 35√3. Since √3 ≈ 1.732, h = 35 * 1.732 = 60.62 m.
- Verification: The result 60.6 m matches option (C). Other options are incorrect as they do not satisfy the trigonometric relationship between the tower height and the change in shadow length relative to the change in sun altitude.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
जब सूर्य की ऊँचाई 30° से 60° हो जाती है, तो टावर की छाया की लंबाई 70 मी. कम हो जाती है। टावर की ऊँचाई क्या है?
सही उत्तर (C) 60.6 मी. है।
- दिए गए आंकड़े और सूत्र: माना टावर की ऊँचाई h है। सूर्य का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। सूत्र: tan(θ) = लंब / आधार।
- चरणबद्ध हल: 60° के लिए, tan(60°) = h / (x - 70) => √3 = h / (x - 70) => x - 70 = h/√3। 30° के लिए, tan(30°) = h / x => 1/√3 = h / x => x = h√3। x का मान रखने पर: h√3 - 70 = h/√3। √3 से गुणा करने पर: 3h - 70√3 = h => 2h = 70√3 => h = 35√3। चूँकि √3 ≈ 1.732, अतः h = 35 * 1.732 = 60.62 मी.।
- विकल्प विश्लेषण: प्राप्त परिणाम 60.6 मी. विकल्प (C) के अनुरूप है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि वे टावर की ऊँचाई और छाया की लंबाई के त्रिकोणमितीय संबंधों को संतुष्ट नहीं करते हैं।