is divisible by which of the following numbers?
Correct Option: (b) 3 and 37 but not 2
We are given the expression N = 222^333 + 333^222. Let us analyze its divisibility by 2, 3, and 37. First, 222 is an even number, so 222^333 is even. 333 is an odd number, so 333^222 is odd. The sum of an even and an odd number is always odd (Even + Odd = Odd). Therefore, N is an odd number and is not divisible by 2. This immediately eliminates options (a), (c), and (d) which claim N is divisible by 2. To confirm, let us check divisibility by 3 and 37. The base numbers are 222 and 333. Both 222 and 333 are divisible by 111 (since 222 = 2 × 111 and 333 = 3 × 111). Since 111 is divisible by both 3 and 37 (111 = 3 × 37), both bases 222 and 333 are multiples of both 3 and 37. Any positive integer power of a multiple of 3 and 37 will also be divisible by 3 and 37. Hence, both terms are divisible by 3 and 37, making their sum N divisible by 3 and 37. Therefore, N is divisible by 3 and 37, but not 2. The correct option is (b).
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
निम्नलिखित संख्याओं में से किनसे भाज्य है?
सही उत्तर: (b) 3 और 37 से किन्तु 2 से नहीं
हमें संख्या N = 222^333 + 333^222 दी गई है। आइए 2, 3 और 37 से इसकी विभाज्यता का परीक्षण करें। सबसे पहले, 222 एक सम संख्या है, इसलिए 222^333 भी सम होगी। 333 एक विषम संख्या है, इसलिए 333^222 भी विषम होगी। एक सम और एक विषम संख्या का योगफल सदैव विषम होता है (सम + विषम = विषम)। अतः, N एक विषम संख्या है और यह 2 से विभाज्य नहीं है। इससे विकल्प (a), (c) और (d) स्वतः ही निरस्त हो जाते हैं क्योंकि वे N को 2 से विभाज्य बताते हैं। पुष्टि के लिए, आइए 3 और 37 से विभाज्यता की जांच करें। इसके आधार 222 और 333 हैं। दोनों ही संख्याएँ 111 से विभाज्य हैं (चूंकि 222 = 2 × 111 और 333 = 3 × 111)। चूंकि 111 संख्याएँ 3 और 37 दोनों से विभाज्य है (111 = 3 × 37), इसलिए आधार 222 और 333 दोनों ही 3 और 37 के गुणज हैं। इनके किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात वाले पद भी 3 और 37 से पूर्णतः विभाज्य होंगे। अतः, इन दोनों पदों का योगफल N भी 3 और 37 से विभाज्य होगा, किन्तु 2 से नहीं। इसलिए सही विकल्प (b) है।