The age of Mr. X last year was the square of a number and it would be the cube of a number next year. What is the least number of years he must wait for his age to become the cube of a number again?
Correct Option: 38
Let Mr. X's current age be A. His age last year (A - 1) was the square of an integer, so A - 1 = x^2. His age next year (A + 1) will be the cube of an integer, so A + 1 = y^3. Subtracting the first equation from the second gives: (A + 1) - (A - 1) = y^3 - x^2 ⇒ y^3 - x^2 = 2. We need to find a perfect cube y^3 and a perfect square x^2 that differ by 2. Testing small positive integers for cubes: 1^3 = 1 (1 - 2 = -1, not a square); 2^3 = 8 (8 - 2 = 6, not a square); 3^3 = 27 (27 - 2 = 25, which is 5^2, a perfect square). Thus, y = 3 and x = 5. Mr. X's current age A = x^2 + 1 = 25 + 1 = 26 years. He wants to wait until his age becomes a perfect cube again. The next perfect cube after 27 (which was 3^3) is 4^3 = 64. The least number of years he must wait is 64 - 26 = 38 years.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
श्री X की आयु एक वर्ष पूर्व किसी संख्या का वर्ग थी तथा अगले वर्ष यह किसी संख्या का घन हो जाएगा। उसे अपनी आयु के पुनः किसी संख्या का घन होने के लिए न्यूनतम कितने वर्ष प्रतीक्षा करनी पड़ेगी?
सही उत्तर: 38
मान लीजिए कि श्री X की वर्तमान आयु A है। पिछले वर्ष उनकी आयु (A - 1) किसी संख्या का वर्ग थी, अतः A - 1 = x^2। अगले वर्ष उनकी आयु (A + 1) किसी संख्या का घन होगी, अतः A + 1 = y^3। दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर हमें प्राप्त होता है: (A + 1) - (A - 1) = y^3 - x^2 ⇒ y^3 - x^2 = 2। हमें एक ऐसी पूर्ण घन संख्या y^3 और पूर्ण वर्ग संख्या x^2 ज्ञात करनी है जिनका अंतर 2 हो। घनों का परीक्षण करने पर: 1^3 = 1 (1 - 2 = -1, वर्ग नहीं है); 2^3 = 8 (8 - 2 = 6, वर्ग नहीं है); 3^3 = 27 (27 - 2 = 25, जो कि 5^2 यानी पूर्ण वर्ग है)। अतः, y = 3 और x = 5। श्री X की वर्तमान आयु A = x^2 + 1 = 25 + 1 = 26 वर्ष है। अपनी आयु के पुनः किसी संख्या का घन (27 के बाद अगला घन 4^3 = 64 है) होने के लिए उन्हें न्यूनतम 64 - 26 = 38 वर्ष प्रतीक्षा करनी होगी।