An agricultural field is in the form of a rectangle having length X1 meters and breadth X2 meters (X1 and X2 are variable). If X1 + X2 = 40 meters, then the area of the agricultural field will not exceed which one of the following values ?
Correct Option: (a) 400 sq m
Let the length and breadth of the rectangular agricultural field be X1 and X2 meters respectively. We are given that X1 + X2 = 40 meters. The area of the rectangular field is given by Area = X1 × X2. According to the Arithmetic Mean-Geometric Mean (AM-GM) inequality, for any non-negative real numbers X1 and X2: (X1 + X2) ÷ 2 ≥ √(X1 × X2). Substituting the given sum into the inequality: 40 ÷ 2 ≥ √(X1 × X2) ⇒ 20 ≥ √(X1 × X2). Squaring both sides of the inequality to eliminate the square root: 20^2 ≥ X1 × X2 ⇒ 400 ≥ X1 × X2. This implies that the maximum possible area of the field is 400 square meters, which occurs when the field is a square (X1 = X2 = 20 meters). Therefore, the area of the agricultural field will not exceed 400 sq m. This corresponds to option (a).
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
एक लेत आबताकार आकृति में है जिसकी लंबाई X1 मीटर और चौड़ाई X2 मीटर है (X1 और X2 चर हैं)। यदि X1 + X2 = 40 मीटर है तो उस लेत का क्षेत्रफल निम्नलिखित किस एक मान से अधिक नहीं होगा ?
सही उत्तर: (a) 400 वर्ग मीटर
मान लीजिए कि आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः X1 और X2 मीटर है। हमें दिया गया है कि: X1 + X2 = 40 मीटर। खेत का क्षेत्रफल = X1 × X2 वर्ग मीटर। अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य (AM-GM) असमिका के अनुसार, दो धनात्मक चरों X1 और X2 के लिए: (X1 + X2) ÷ 2 ≥ √(X1 × X2). दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: 40 ÷ 2 ≥ √(X1 × X2) ⇒ 20 ≥ √(X1 × X2). दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 20^2 ≥ X1 × X2 ⇒ 400 ≥ X1 × X2. इसका अर्थ है कि खेत का अधिकतम संभावित क्षेत्रफल 400 वर्ग मीटर हो सकता है (जो तब होता है जब खेत एक वर्ग हो, अर्थात X1 = X2 = 20 मीटर)। अतः खेत का क्षेत्रफल 400 वर्ग मीटर से अधिक नहीं होगा। इसलिए विकल्प (a) सही उत्तर है।