A cut on a solid object divides the object into two parts where the new surfaces thus produced are plane. On the other hand, one single cut can be used to cut more than one object at a time. In an experiment, the total number of pieces produced by applying n cuts is denoted by x_n. The experiment is performed on a solid cube where pieces remain unmoved after each cut. In this experiment, if after the third cut, the pieces are identical, then which of the following is not a possible value for x_4?
Correct Answer: (A) 16
In 3D geometry, the maximum number of regions into which space can be divided by planar cuts is given by the cake-number formula . For cuts, the absolute upper bound is pieces. Because no arrangement of 4 planar cuts can ever produce more than 15 pieces, 16 is not a possible value for .
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
किसी ठोस वस्तु पर एक काट (cut) उसे दो भागों में विभाजित कर देता है, जहाँ इस प्रकार बनने वाले नए पृष्ठ समतल हैं। वहीं दूसरी ओर, एकल काट से एक ही समय में एक से अधिक वस्तुओं को काटा जा सकता है। एक प्रयोग में, n काटों से बने हुए खंडों की कुल संख्या को x_n द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रयोग को किसी ठोस घन पर निष्पादित किया जाता है, जहाँ प्रत्येक काट के बाद खंड अचल (unmoved) रहे। इस प्रयोग में, यदि तीसरी काट के बाद, खंड सर्वसम (identical) हैं, तो x_4 के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा संभाव्य मान नहीं है?
सही उत्तर: (A) 16
त्रि-विमीय ज्यामिति में समतलीय कटों (planar cuts) द्वारा किसी ठोस के बनने वाले टुकड़ों की अधिकतम संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है। कटों के लिए अधिकतम संभव टुकड़े होते हैं। किसी भी स्थिति में 4 कटों से 15 से अधिक टुकड़े नहीं बन सकते, अतः 16 कभी भी का संभव मान नहीं हो सकता।