A 2-digit number is reversed. The larger of the two numbers is divided by the smaller one. What is the largest possible remainder?
Correct Option: 45
Let the original 2-digit number be S = 10b + a and its reversed 2-digit number be L = 10a + b, where a > b. We want to find the largest possible remainder when the larger number L is divided by the smaller number S. Let the quotient be Q and the remainder be R, so L = Q × S + R. If Q = 1: L < 2S ⇒ 10a + b < 2(10b + a) ⇒ 8a < 19b. Here, R = L - S = 9(a - b). To maximize 9(a - b), we must maximize a - b. Let a = 9, then 8(9) < 19b ⇒ 72 < 19b ⇒ b can be 4, 5, 6, 7, 8. The smallest value for b is 4, which gives the maximum difference (a - b) = 9 - 4 = 5. For a = 9 and b = 4, the numbers are L = 94 and S = 49. Dividing 94 by 49 gives 94 = 1 × 49 + 45. The remainder is 45. If Q ≥ 2, the remainders are mathematically verified to be smaller than 45 (for example, 82 ÷ 28 gives remainder 26). Thus, the largest possible remainder is 45.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
एक 2-अंकीय संख्या को उल्टा किया गया। उन दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित किया गया। वृहत्तम संभव शेषफल क्या है?
सही उत्तर: 45
मान लीजिए कि मूल 2-अंकीय संख्या S = 10b + a है और उसकी उल्टी की गई संख्या L = 10a + b है, जहाँ a > b है। हमें बड़ी संख्या L को छोटी संख्या S से विभाजित करने पर अधिकतम संभव शेषफल R ज्ञात करना है। विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार: L = Q × S + R, जहाँ Q भागफल है। यदि Q = 1 हो: L < 2S ⇒ 10a + b < 2(10b + a) ⇒ 8a < 19b। इस स्थिति में शेषफल R = L - S = 9(a - b) होगा। R को अधिकतम करने के लिए (a - b) को अधिकतम करना होगा। यदि हम a = 9 लेते हैं, तो 8(9) < 19b ⇒ 72 < 19b ⇒ b का न्यूनतम मान 4 हो सकता है (b = 4, 5, 6, 7, 8 हो सकते हैं)। इससे हमें अधिकतम अंतर (a - b) = 9 - 4 = 5 मिलता है। यहाँ संख्याएँ L = 94 और S = 49 हैं। 94 को 49 से विभाजित करने पर: 94 = 1 × 49 + 45, जिससे शेषफल 45 प्राप्त होता है। यदि Q ≥ 2 हो, तो शेषफल हमेशा 45 से छोटे प्राप्त होते हैं (जैसे 82 ÷ 28 में शेषफल 26 है)। अतः, वृहत्तम संभव शेषफल 45 है।