The figure drawn below gives the velocity graphs of two vehicles A and B. The straight line OKP represents the velocity of vehicle A at any instant, whereas the horizontal straight line CKD represents the velocity of vehicle B at any instant. In the figure, D is the point where perpendicular from P meets the horizontal line CKD such that PD = 1/2 LD:
What is the ratio between the distances covered by vehicles A and B in the time interval OL?
Correct Option: 3 : 4
The distance covered by a vehicle is represented by the area under its velocity-time graph. Let the time interval be OL, represented on the horizontal axis. For vehicle B, the velocity is constant and represented by the horizontal line CKD. The area under this line over the interval OL is a rectangle of width OL and height LD. Thus, Distance of B = OL × LD. For vehicle A, the velocity starts from zero and increases linearly along OKP. The area under OKP over the interval OL is a right-angled triangle with base OL and height PL. We are given: PD = 1/2 LD. Since PL = PD + LD, we have PL = 1/2 LD + LD = 3/2 LD. The distance covered by A is the area of this triangle: Distance of A = 1/2 × OL × PL = 1/2 × OL × (3/2 LD) = 3/4 × OL × LD. The ratio of the distance covered by A to that of B is: (3/4 × OL × LD) / (OL × LD) = 3 / 4, which is 3 : 4. Therefore, Option C is the correct answer.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
नीचे दिए गए चित्र में A और B दो वाहनों के वेग के आलेख (ग्राफ) दिए गए हैं। सरलरेखा OKP किसी भी क्षण में वाहन A के वेग को दर्शाती है, जबकि क्षैतिज सरलरेखा CKD किसी भी क्षण में वाहन B के वेग को दर्शाती है। चित्र में, D वह बिंदु है जहाँ P से क्षैतिज रेखा CKD पर लंब इस प्रकार मिलता है कि PD = 1/2 LD :
समय अंतराल OL में वाहन A और वाहन B द्वारा तय की गई दूरियों के बीच क्या अनुपात है?
सही उत्तर: 3 : 4
किसी वाहन द्वारा तय की गई दूरी उसके वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल द्वारा प्रदर्शित होती है। मान लीजिए कि समय अंतराल क्षैतिज अक्ष पर OL है। वाहन B का वेग नियत है और इसे क्षैतिज रेखा CKD द्वारा दर्शाया गया है। अंतराल OL में इसके नीचे का क्षेत्रफल एक आयत होगा जिसकी चौड़ाई OL और ऊंचाई LD है। अतः, B द्वारा तय दूरी = OL × LD। वाहन A का वेग शून्य से शुरू होकर OKP रेखा के अनुदिश रैखिक रूप से बढ़ता है। अंतराल OL में इसके नीचे का क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार OL और ऊंचाई PL है। हमें दिया गया है कि: PD = 1/2 LD। चूंकि PL = PD + LD है, इसलिए PL = 1/2 LD + LD = 3/2 LD होगा। वाहन A द्वारा तय दूरी = 1/2 × आधार × ऊंचाई = 1/2 × OL × (3/2 LD) = 3/4 × OL × LD। अतः A और B द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात = (3/4 × OL × LD) / (OL × LD) = 3/4 अर्थात 3 : 4 है। इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।