Four-digit numbers are to be formed using the digits 1, 2, 3 and 4; and none of these four digits are repeated in any manner. Further,
1. 2 and 3 are not to immediately follow each other
2. 1 is not to be immediately followed by 3
3. 4 is not to appear at the last place
4. 1 is not to appear at the first place
How many different numbers can be formed ?
Correct Option: (a) 6
We must form 4-digit numbers using {1, 2, 3, 4} without repetition under these constraints: 1. '2' and '3' are not adjacent (no '23' or '32'). 2. '1' is not immediately followed by '3' (no '13'). 3. '4' cannot be at the last place (ends with 1, 2, or 3). 4. '1' cannot be at the first place (starts with 2, 3, or 4). Let's test all possible permutations: - Starting with 2: 2143 (Valid), 2431 (Valid). Other combinations like 2134 (ends with 4), 2314/2341 (contains 23), 2413 (contains 13) are invalid. - Starting with 3: 3142 (Valid), 3412 (Valid), 3421 (Valid). Other combinations like 3124 (ends with 4), 3214/3241 (contains 32) are invalid. - Starting with 4: 4312 (Valid). Other combinations like 4123/4231 (contains 23), 4132/4213 (contains 13), 4321 (contains 32) are invalid. There are exactly 6 valid numbers: 2143, 2431, 3142, 3412, 3421, and 4312.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
अंक 1, 2, 3 और 4 को लेकर चार-अंकीय संख्याएं बनानी हैं। इन चार अंकों में से किसी एक की भी किसी भी रीति से पुनरावृति नहीं करनी है, तथा
1. 2 और 3 एक दूसरे के एकदम आगे पीछे नहीं हो सकते
2. 3, 1 के एकदम पीछे नहीं हो सकता
3. 4 अंतिम स्थान पर नहीं आ सकता
4. 1 प्रथम स्थान पर नहीं आ सकता
कितनी पृथक संख्याएं बन सकती हैं ?
सही उत्तर: (a) 6
अंकों {1, 2, 3, 4} का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के 4-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं, जिन पर निम्नलिखित प्रतिबंध हैं: 1. 2 और 3 एक-दूसरे के पास नहीं हो सकते। 2. 1 के ठीक बाद 3 नहीं हो सकता। 3. अंतिम स्थान पर 4 नहीं हो सकता। 4. पहले स्थान पर 1 नहीं हो सकता। सभी संभावित संयोजनों की जाँच करते हैं: - 2 से शुरू होने वाली संख्याएँ: 2143 (वैध है), 2431 (वैध है)। - 3 से शुरू होने वाली संख्याएँ: 3142 (वैध है), 3412 (वैध है), 3421 (वैध है)। - 4 से शुरू होने वाली संख्याएँ: 4312 (वैध है)। अन्य सभी संख्याएँ (जैसे 2134, 3214, 4123, आदि) दिए गए प्रतिबंधों का उल्लंघन करती हैं। इस प्रकार, केवल 6 वैध संख्याएँ बनाई जा सकती हैं: 2143, 2431, 3142, 3412, 3421, और 4312।