An Identity Card has the number ABCDEFG, not necessarily in that order, where each letter represents a distinct digit (1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 only). The number is divisible by 9. After deleting the first digit from the right, the resulting number is divisible by 6. After deleting two digits from the right of original number, the resulting number is divisible by 5. After deleting three digits from the right of original number, the resulting number is divisible by 4. After deleting four digits from the right of original number, the resulting number is divisible by 3. After deleting five digits from the right of original number, the resulting number is divisible by 2. Which of the following is a possible value for the sum of the middle three digits of the number?

20223Mprelimsupscyear-2022p2quantitative-aptitudequantitative-abilitynumbers
A.8Correct
B.9
C.11
D.12
Explanation & Solution

Correct Answer: (A) 8

Let the 7-digit number be d1d2d3d4d5d6d7d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 from digits {1,2,4,5,7,8,9}\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 9\}. Divisibility by 5 after removing two digits requires d5=5d_5 = 5. Since 2-digit prefixes ending at even positions must be divisible by even numbers (2, 4, 6), the digits d2,d4,d6d_2, d_4, d_6 must be the even digits {2,4,8}\{2, 4, 8\}, leaving {1,7,9}\{1, 7, 9\} for d1,d3,d7d_1, d_3, d_7. For d1d2d3d4d_1 d_2 d_3 d_4 to be divisible by 4 with d3d_3 odd, the only viable even digit is d4=2d_4 = 2. With d4=2d_4 = 2 and d5=5d_5 = 5, the middle three digits are d3,2,5d_3, 2, 5, giving sum d3+7d_3 + 7. For d3=1d_3 = 1 (which forms the valid number 7412589), the sum is 1+2+5=81 + 2 + 5 = 8.

हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर

किसी पहचान-पत्र की संख्या ABCDEFG है, किन्तु आवश्यक नहीं कि इसी क्रम में हो, जहाँ हर वर्ण किसी भिन्न अंक (केवल 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9) को निरूपित करता है। यह संख्या अंक 9 से विभाज्य है। दाहिने से पहला एक अंक मिटाने पर, परिणामी संख्या अंक 6 से विभाज्य है। मूल संख्या के दाहिने से दो अंकों को मिटाने पर परिणामी संख्या अंक 5 से विभाज्य है। मूल संख्या के दाहिने से तीन अंकों को मिटाने पर परिणामी संख्या अंक 4 से विभाज्य है। मूल संख्या के दाहिने से चार अंकों को मिटाने पर परिणामी संख्या अंक 3 से विभाज्य है। मूल संख्या के दाहिने से पाँच अंकों को मिटाने पर परिणामी संख्या अंक 2 से विभाज्य है। निम्नलिखित में से कौन-सा, इस संख्या के बीचोबीच तीन अंकों के योग का संभव मान है?

A.8सही
B.9
C.11
D.12

सही उत्तर: (A) 8

संख्या d1d2d3d4d5d6d7d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 अंक {1,2,4,5,7,8,9}\{1, 2, 4, 5, 7, 8, 9\} से बनी है। 5 से विभाज्यता के लिए 5वें स्थान पर d5=5d_5 = 5 होना आवश्यक है। सम स्थानों (d2,d4,d6d_2, d_4, d_6) पर सम अंक {2,4,8}\{2, 4, 8\} तथा विषम स्थानों पर विषम अंक {1,7,9}\{1, 7, 9\} होंगे। d3d4d_3 d_4 के 4 से विभाज्य होने के लिए (चूँकि d3d_3 विषम है) d4=2d_4 = 2 होना अनिवार्य है। अतः बीच के तीन अंक d3,2,5d_3, 2, 5 हैं जिनका योग d3+7d_3 + 7 है। d3=1d_3 = 1 रखने पर मान्य संख्या 7412589 बनती है और बीच के तीनों अंकों का योग 1+2+5=81 + 2 + 5 = 8 प्राप्त होता है।

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