If the numerator and denominator of a proper fraction are increased by the same positive quantity which is greater than zero, the resulting fraction is
Correct Option: always greater than the original fraction
Let a proper fraction be represented as a/b, where a < b and both a and b are positive integers with b > 0. A proper fraction is always less than 1. If we add a positive quantity c (where c > 0) to both the numerator and the denominator, the new fraction becomes (a + c) / (b + c). Let us compare a/b and (a + c) / (b + c) by cross-multiplication: Compare a(b + c) with b(a + c) => ab + ac with ab + bc. Since a < b, ac < bc. Therefore, a(b + c) < b(a + c), which means a/b < (a + c) / (b + c). Thus, the resulting fraction is always greater than the original fraction. For example, taking 1/2 and adding 1 to both gives 2/3, and 2/3 is greater than 1/2. Therefore, option 2 is always correct.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
यदि किसी उचित भिन्न के अंश और हर को उतनी ही धनात्मक मात्रा, जो शून्य से अधिक हो, से बढ़ा दिया जाए, तो परिणामी भिन्न
सही उत्तर: हमेशा मूल भिन्न से बड़ा होगा
मान लीजिए एक उचित भिन्न a/b है, जहाँ a < b है और a, b दोनों धनात्मक हैं। उचित भिन्न का मान हमेशा 1 से कम होता है। यदि अंश और हर दोनों में समान धनात्मक मात्रा c (जहाँ c > 0) जोड़ी जाए, तो नई भिन्न (a + c) / (b + c) होगी। a/b और नई भिन्न की तुलना करने पर: a(b + c) = ab + ac और b(a + c) = ab + bc। चूँकि a < b है, इसलिए ab + ac < ab + bc होगा, जिसका अर्थ है कि a/b < (a + c) / (b + c)। अतः परिणामी भिन्न हमेशा मूल भिन्न से बड़ी होगी। उदाहरण के लिए, 1/2 में 1 जोड़ने पर 2/3 प्राप्त होता है, जो 1/2 से बड़ा है।