On January 1st, 2023, a person saved ₹ 1. On January 2nd, 2023, he saved ₹ 2 more than that on the previous day. On January 3rd, 2023, he saved ₹ 2 more than that on the previous day and so on. At the end of which date was his total savings a perfect square as well a perfect cube?
Correct Option: (b) 8th January, 2023
The savings on consecutive days form an arithmetic progression. On Jan 1st, savings = 1. On Jan 2nd, savings = 1 + 2 = 3. On Jan 3rd, savings = 3 + 2 = 5, and so on. The savings on the n-th day is the n-th odd number, 2n - 1. The total savings T(n) at the end of day n is the sum of the first n odd numbers, which is given by: T(n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2. We want to find the date (value of n) where T(n) is both a perfect square and a perfect cube. Since T(n) = n^2, it is always a perfect square for any integer n. For n^2 to also be a perfect cube, n itself must be a perfect cube (i.e., n = k^3, so T(n) = (k^3)^2 = k^6, which is a perfect cube). Since n = 1 (1st Jan) is not in the options, the next smallest perfect cube is n = 8 (which is 2^3). For n = 8 (representing 8th January), T(8) = 8^2 = 64, which is 8^2 (perfect square) and 4^3 (perfect cube). Thus, the date is 8th January, 2023. The correct option is (b).
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
एक व्यक्ति ने 1 जनवरी, 2023 को ₹ 1 की बचत की। 2 जनवरी, 2023 को उसने पूर्ववर्ती दिन की तुलना में ₹ 2 की अधिक बचत की। 3 जनवरी, 2023 को उसने पूर्ववर्ती दिन की तुलना में ₹ 2 की अधिक बचत की और यह क्रम आगे भी जारी रहता है। किस तारीख के अंत में उसकी कुल बचत एक पूर्ण वर्ग होने के साथ-साथ एक पूर्ण घन भी थी?
सही उत्तर: (b) 8 जनवरी, 2023
क्रमशः दिनों की बचत एक समांतर श्रेणी (AP) बनाती है। 1 जनवरी को बचत = 1 है। 2 जनवरी को बचत = 1 + 2 = 3 है। 3 जनवरी को बचत = 3 + 2 = 5 है, और इसी प्रकार आगे भी। n-वें दिन की बचत n-वीं विषम संख्या अर्थात् 2n - 1 होगी। n-वें दिन के अंत में कुल बचत T(n) प्रथम n विषम संख्याओं का योगफल होगी: T(n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2। हमें वह तिथि (n का मान) ज्ञात करनी है जहाँ T(n) एक पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन दोनों हो। चूंकि T(n) = n^2 है, यह किसी भी पूर्णांक n के लिए सदैव एक पूर्ण वर्ग है। n^2 के पूर्ण घन होने के लिए, स्वयं n को भी एक पूर्ण घन होना चाहिए (अर्थात् n = k^3, जिससे T(n) = (k^3)^2 = k^6 हो, जो कि एक पूर्ण घन है)। चूंकि n = 1 (1 जनवरी) विकल्पों में नहीं है, इसलिए अगला सबसे छोटा पूर्ण घन n = 8 (जो कि 2^3 है) होगा। n = 8 (यानी 8 जनवरी) के लिए, T(8) = 8^2 = 64 है, जो कि 8^2 (पूर्ण वर्ग) और 4^3 (पूर्ण घन) दोनों है। अतः वह तिथि 8 जनवरी, 2023 है। सही विकल्प (b) है।