Let p and q be positive integers satisfying p < q and p + q = k. What is the smallest value of k that does not determine p and q uniquely?
Correct Option: (c) 5
We are given that p and q are positive integers satisfying p < q and p + q = k. We need to find the smallest value of k that does not determine p and q uniquely. Let us test values of k systematically: For k = 3: The only positive integer pair is p = 1, q = 2 (since 1 < 2), which is unique. For k = 4: The only positive integer pair satisfying p < q is p = 1, q = 3 (since p = 2, q = 2 violates p < q), which is unique. For k = 5: We have two valid pairs: (p = 1, q = 4) and (p = 2, q = 3). Both pairs satisfy p < q and p + q = 5. Since k = 5 yields multiple distinct solutions for p and q, it is the smallest value of k that fails to determine p and q uniquely. Hence, the correct option is (c).
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
मान लीजिए p और q धन पूर्णांक हैं जो p < q और p + q = k को संतुष्ट करते हैं। k का वह लघुतम मान क्या है, जो p और q को अद्वितीयतः निर्धारित नहीं करता है?
सही उत्तर: (c) 5
हमें दिया गया है कि p और q दो धन पूर्णांक हैं जो p < q और p + q = k को संतुष्ट करते हैं। हमें k का वह लघुतम मान ज्ञात करना है जो p और q को अद्वितीय रूप से निर्धारित नहीं करता है। यदि k = 3 लें, तो एकमात्र संभव युग्म p = 1, q = 2 है, जो अद्वितीय है। यदि k = 4 लें, तो p < q की शर्त के साथ एकमात्र युग्म p = 1, q = 3 है, जो अद्वितीय है। यदि k = 5 लें, तो हमारे पास दो मान्य युग्म प्राप्त होते हैं: (p = 1, q = 4) और (p = 2, q = 3)। दोनों युग्म p < q और p + q = 5 को संतुष्ट करते हैं। चूँकि k = 5 के लिए p और q के एक से अधिक मान संभव हैं, इसलिए यह p और q को अद्वितीयतः निर्धारित नहीं करता है। अतः लघुतम मान 5 है, और सही विकल्प (c) है।