Let X be a two-digit number and Y be another two-digit number formed by interchanging the digits of X. If (X + Y) is the greatest two-digit number, then what is the number of possible values of X?
Correct Option: (d) 8
Let X be a two-digit number represented as 10a + b, where a and b are digits such that a belongs to {1, 2, ..., 9} and b belongs to {1, 2, ..., 9}. We exclude b = 0 because Y is also a two-digit number formed by interchanging the digits of X, meaning Y = 10b + a, so its leading digit b cannot be zero. The sum of X and Y is: X + Y = (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b). We are given that (X + Y) is the greatest two-digit number. Since X + Y must be a multiple of 11, the greatest two-digit multiple of 11 is 99. Therefore, 11(a + b) = 99 ⇒ a + b = 9. Since a and b are non-zero single digits, the possible pairs for (a, b) are: (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), and (8, 1). These correspond to 8 possible values of X (18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81). Thus, the number of possible values of X is 8, making option (d) correct.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
मान लीजिए X एक दो-अंकीय संख्या है और Y एक अन्य दो-अंकीय संख्या है जिसे X के अंकों को विनिमय (इंटरचेंज) करके बनाया गया है। यदि (X + Y) महत्तम दो-अंकीय संख्या है, तो X के संभाव्य मानों की संख्या क्या है?
सही उत्तर: (d) 8
मान लीजिए X एक दो-अंकीय संख्या है जिसे 10a + b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ a ∈ {1, 2, ..., 9} और b ∈ {1, 2, ..., 9}। हम b = 0 नहीं ले सकते क्योंकि Y भी एक दो-अंकीय संख्या है जो X के अंकों को उलटने से बनती है (अर्थात Y = 10b + a), इसलिए इसका पहला अंक b शून्य नहीं हो सकता। संख्याओं का योग: X + Y = (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)। दिया गया है कि (X + Y) महत्तम दो-अंकीय संख्या है। चूँकि योग 11 का गुणज होना चाहिए, इसलिए महत्तम दो-अंकीय संख्या जो 11 का गुणज है, वह 99 है। अतः, 11(a + b) = 99 ⇒ a + b = 9। चूँकि a और b गैर-शून्य एकल अंक हैं, इसलिए (a, b) के संभावित युग्म निम्नलिखित हैं: (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), और (8, 1)। ये युग्म X के 8 संभावित मानों (18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81) को दर्शाते हैं। अतः, X के संभावित मानों की संख्या 8 है। इसलिए विकल्प (d) सही है।