The outer surface of a 4 cm × 4 cm × 4 cm cube is painted completely in red. It is sliced parallel to the faces to yield sixty four 1 cm × 1 cm × 1 cm small cubes. How many small cubes do not have painted faces?
Correct Option: 8
When a large cube of dimensions n × n × n is painted on the outside and then cut into smaller cubes of dimensions 1 × 1 × 1, the smaller cubes are divided based on how many of their faces are painted. The small cubes that do not have any painted faces are those located entirely in the inner core of the larger cube. The formula to find the number of these completely unpainted small cubes is given by (n - 2)^3, where n is the side length of the larger cube in terms of the smaller units. Here, the large cube has dimensions of 4 cm × 4 cm × 4 cm and is sliced into 1 cm × 1 cm × 1 cm small cubes, which gives n = 4. Substituting n = 4 into the formula, we get: (4 - 2)^3 = 2^3 = 8. Thus, there are exactly 8 small cubes that do not have any painted faces.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
4 cm × 4 cm × 4 cm के एक घन के बाह्य पृष्ठ को पूरी तरह लाल रंग में रंगा गया है। तत्पश्चात इसे फलकों के समांतर 1 cm × 1 cm × 1 cm के चौसठ छोटे घनों में काटा गया है। कितने छोटे घनों की फलकें रंगी हुई नहीं होंगी?
सही उत्तर: 8
जब n × n × n आयामों वाले एक बड़े घन की बाहरी सतह को रंगा जाता है और फिर उसे 1 × 1 × 1 आयामों के छोटे घनों में काटा जाता है, तो उन छोटे घनों के रंगे हुए फलकों की संख्या भिन्न-भिन्न होती है। जिन छोटे घनों का कोई भी फलक रंगा हुआ नहीं होता, वे बड़े घन के आंतरिक कोर (भीतरी भाग) में स्थित होते हैं। ऐसे बिना रंगे छोटे घनों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र (n - 2)^3 है, जहाँ n बड़े घन की भुजा की लंबाई है। यहाँ, बड़े घन की भुजा 4 cm है और इसे 1 cm के छोटे घनों में काटा गया है, इसलिए n = 4 है। सूत्र में n = 4 रखने पर, हमें प्राप्त होता है: (4 - 2)^3 = 2^3 = 8। अतः, ऐसे छोटे घनों की कुल संख्या 8 है जिनकी कोई भी फलक रंगी हुई नहीं है।