A person climbs a hill in a straight path from point 'O' on the ground in the direction of north-east and reaches a point 'A' after travelling a distance of 5 km. Then, from the point 'A' he moves to point 'B' in the direction of north-west. Let the distance AB be 12 km. Now, how far is the person away from the starting point 'O' ?
Correct Option: (b) 13 km
Let the starting point on the ground be the origin 'O'. The person climbs 5 km in the North-East direction to reach point 'A'. From point 'A', the person changes direction and travels 12 km in the North-West direction to reach point 'B'. The angle between the North-East direction and the North-West direction is exactly 90 degrees (perpendicular to each other). Thus, the path OAB forms a right-angled triangle, with the right angle at vertex A (angle OAB = 90 degrees). To find the distance of the person from the starting point 'O', we need to calculate the length of the hypotenuse OB. Using Pythagoras' theorem: OB^2 = OA^2 + AB^2 ⇒ OB^2 = 5^2 + 12^2 ⇒ OB^2 = 25 + 144 = 169 ⇒ OB = √169 = 13 km. Therefore, the person is 13 km away from the starting point 'O'. This matches option (b).
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
कोई व्यक्ति जमीन पर किसी बिंदु 'O' से सीधे रास्ते से उत्तर-पूर्व की दिशा में एक पहाड़ी पर चढ़ता है और 5 किमी. की दूरी तय करके बिंदु 'A' पर पहुँचता है। उसके बाद, वह बिंदु 'A' से उत्तर-पश्चिम की दिशा में बिंदु 'B' तक जाता है। AB की दूरी 12 किमी. है। अब वह व्यक्ति प्रारंभिक बिंदु 'O' से कितनी दूर है ?
सही उत्तर: (b) 13 किमी.
मान लीजिए कि जमीन पर प्रारंभिक बिंदु 'O' है। व्यक्ति उत्तर-पूर्व दिशा में 5 किमी. की दूरी तय करके बिंदु 'A' पर पहुँचता है। इसके बाद, वह बिंदु 'A' से दिशा बदलकर उत्तर-पश्चिम दिशा में 12 किमी. की दूरी तय करके बिंदु 'B' पर पहुँचता है। चूंकि उत्तर-पूर्व और उत्तर-पश्चिम दिशाएं एक-दूसरे के लंबवत होती हैं, इसलिए इनके बीच का कोण ठीक 90 डिग्री होता है। इस प्रकार, पथ OAB एक समकोण त्रिभुज बनाता है, जिसमें बिंदु A पर समकोण (90 डिग्री) है। प्रारंभिक बिंदु 'O' से अंतिम बिंदु 'B' की दूरी (कर्ण OB) ज्ञात करने के लिए हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: OB^2 = OA^2 + AB^2 ⇒ OB^2 = 5^2 + 12^2 ⇒ OB^2 = 25 + 144 = 169 ⇒ OB = √169 = 13 किमी.। अतः वह व्यक्ति अपने प्रारंभिक बिंदु से 13 किमी. दूर है। इसलिए विकल्प (b) सही उत्तर है।