There are thirteen 2-digit consecutive odd numbers. If 39 is the mean of the first five such numbers, then what is the mean of all the thirteen numbers?
Correct Option: 47
Let the thirteen 2-digit consecutive odd numbers be arranged in ascending order. The first five of these numbers are consecutive odd numbers. For any set of consecutive odd numbers, the mean is equal to the middle (median) term. For the first five consecutive odd numbers, the middle term is the 3rd term. Thus, the 3rd term is 39. Since the numbers are consecutive odd numbers, we have: 2nd term = 39 - 2 = 37, and 1st term = 37 - 2 = 35. The first term of the sequence is 35. The entire sequence consists of 13 consecutive odd numbers starting from 35. The mean of these 13 numbers is also equal to the middle term of the entire sequence. For 13 terms, the middle term is the 7th term. We can find the 7th term using the formula: 7th term = 1st term + (7 - 1) × 2 = 35 + 6 × 2 = 35 + 12 = 47. Thus, the mean of all thirteen numbers is 47. The correct option is A.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
तेरह 2-अंकीय क्रमागत विषम संख्याएँ हैं। यदि ऐसी प्रथम पाँच संख्याओं का माध्य 39 है, तो सभी तेरह संख्याओं का माध्य क्या है?
सही उत्तर: 47
मान लीजिए कि तेरह 2-अंकीय क्रमागत विषम संख्याएँ आरोही क्रम में व्यवस्थित हैं। इनमें से प्रथम पाँच संख्याएँ भी क्रमागत विषम संख्याएँ हैं। क्रमागत विषम संख्याओं के किसी भी समूह का माध्य सदैव मध्य पद (माध्यिका) के बराबर होता है। प्रथम पाँच क्रमागत विषम संख्याओं में, मध्य पद तीसरा पद होता है। अतः, तीसरा पद = 39। चूँकि ये क्रमागत विषम संख्याएँ हैं: दूसरा पद = 39 - 2 = 37, और पहला पद = 37 - 2 = 35। इस प्रकार, श्रृंखला का पहला पद 35 है। पूरी श्रृंखला में 35 से शुरू होने वाली 13 क्रमागत विषम संख्याएँ हैं। इन 13 संख्याओं का माध्य भी पूरी श्रृंखला के मध्य पद के बराबर होगा। 13 पदों के लिए, मध्य पद सातवाँ पद होता है। हम सातवें पद की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: 7वाँ पद = पहला पद + (7 - 1) × 2 = 35 + 6 × 2 = 35 + 12 = 47. अतः, सभी तेरह संख्याओं का माध्य 47 है। सही विकल्प A है।