Three numbers x, y, z are selected from the set of the first seven natural numbers such that x > 2y > 3z. How many such distinct triplets (x, y, z) are possible?
Correct Option: (d) Four triplets
We need to find the number of distinct triplets (x, y, z) from the set of first seven natural numbers {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} such that x > 2y > 3z. Since x, y, and z are positive integers, let's analyze possible values of z: Case 1: If z = 1. Then 3z = 3. The inequality becomes x > 2y > 3. Since 2y > 3, we must have y > 1.5. Thus, y can be 2, 3, etc. If y = 2, then 2y = 4. The inequality becomes x > 4. x can be 5, 6, or 7. This gives three triplets: (5, 2, 1), (6, 2, 1), and (7, 2, 1). If y = 3, then 2y = 6. The inequality becomes x > 6. x can only be 7. This gives one triplet: (7, 3, 1). If y ≥ 4, then 2y ≥ 8, which requires x > 8. This is impossible. Case 2: If z ≥ 2. Then 3z ≥ 6. This requires 2y > 6 ⇒ y ≥ 4, which means 2y ≥ 8 ⇒ x > 8, which is impossible. Thus, the only valid triplets are (5, 2, 1), (6, 2, 1), (7, 2, 1), and (7, 3, 1). There are exactly 4 triplets, making option (d) correct.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
प्रथम सात धनपूर्णांक संख्याओं के समुच्चय में से तीन संख्याएँ x, y, z इस प्रकार चुनी जाती हैं कि x > 2y > 3z है। इस प्रकार के कितने भिन्न त्रिक (x, y, z) संभव हैं?
सही उत्तर: (d) चार त्रिक
हमें {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} में से ऐसे भिन्न त्रिक (x, y, z) की संख्या ज्ञात करनी है जो x > 2y > 3z को संतुष्ट करते हों। चूँकि x, y, z धन पूर्णांक हैं, हम z के संभावित मानों का विश्लेषण करते हैं: स्थिति 1: यदि z = 1 हो। तो 3z = 3 होगा। असमानता बनती है: x > 2y > 3। चूँकि 2y > 3, इसलिए y > 1.5 होना चाहिए। अतः y का मान 2 या 3 हो सकता है। यदि y = 2 हो, तो 2y = 4। असमानता x > 4 बनती है। x के संभावित मान 5, 6 या 7 हो सकते हैं। इससे हमें तीन त्रिक मिलते हैं: (5, 2, 1), (6, 2, 1) और (7, 2, 1)। यदि y = 3 हो, तो 2y = 6। असमानता x > 6 बनती है। x का केवल एक मान 7 संभव है। इससे हमें एक त्रिक मिलता है: (7, 3, 1)। यदि y ≥ 4 हो, तो 2y ≥ 8, जिससे x > 8 होना चाहिए, जो कि असंभव है क्योंकि समुच्चय का अधिकतम अंक 7 है। स्थिति 2: यदि z ≥ 2 हो। तो 3z ≥ 6 होगा, जिससे 2y > 6 ⇒ y ≥ 4 होगा। यदि y ≥ 4 तो 2y ≥ 8, जिसके लिए x > 8 होना चाहिए, जो असंभव है। अतः कुल 4 वैध त्रिक संभव हैं। विकल्प (d) सही उत्तर है।