Two Statements are given followed by two Conclusions:
Statements:
All numbers are divisible by 2.
All numbers are divisible by 3.
Conclusion-I: All numbers are divisible by 6.
Conclusion-II: All numbers are divisible by 4.
Which of the above Conclusions logically follows/follow from the two given Statements?
Correct Option: (a) Only Conclusion-I
Given statements: All numbers are divisible by 2, and all numbers are divisible by 3. This means any number in our universe of discourse is a multiple of both 2 and 3. Since 2 and 3 are coprime numbers, any number divisible by both 2 and 3 must also be divisible by their least common multiple (LCM), which is 2 × 3 = 6. Thus, Conclusion-I ('All numbers are divisible by 6') logically follows. Conclusion-II states 'All numbers are divisible by 4'. Being divisible by 2 does not guarantee divisibility by 4 (e.g., 6 is divisible by 2 but not by 4). Therefore, Conclusion-II does not logically follow. Only Conclusion-I is correct.
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
नीचे दो कथन दिए गए हैं जिनके बाद दो निष्कर्ष दिए गए हैं:
कथन:
सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं।
सभी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं।
निष्कर्ष-I: सभी संख्याएँ 6 से विभाज्य हैं।
निष्कर्ष-II: सभी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं।
ऊपर लिखे हुए निष्कर्षों में से कौन-सा/से दिए गए दो कथनों से तार्किक रूप से निकाला/निकाले जा सकता/सकते है/हैं?
सही उत्तर: (a) केवल निष्कर्ष-I
दिए गए कथन हैं: सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं, और सभी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं। इसका अर्थ है कि प्रत्येक संख्या 2 और 3 दोनों का गुणज है। चूँकि 2 और 3 सह-अभाज्य (coprime) संख्याएँ हैं, इसलिए जो संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) यानी 6 से भी अवश्य विभाज्य होगी। अतः निष्कर्ष-I तार्किक रूप से सही है। निष्कर्ष-II कहता है कि सभी संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं, जो सत्य नहीं है क्योंकि 2 से विभाज्य संख्या (जैसे 6) का 4 से विभाज्य होना आवश्यक नहीं है। अतः केवल निष्कर्ष-I अनुसरण करता है।