What is the sum of the first 28 terms in the following sequence?
1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, ...
Correct Option: (b) 84
Let us analyze the structure of the given sequence by grouping the terms: Group 1: 1 (1 term); Group 2: 1, 2 (2 terms); Group 3: 1, 3, 2 (3 terms); Group 4: 1, 4, 3, 2 (4 terms); Group 5: 1, 5, 4, 3, 2 (5 terms); Group 6: 1, 6, 5, 4, 3, 2 (6 terms); Group 7: 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (7 terms). The total number of terms in the first 7 groups is the sum of terms in each group: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 terms. Thus, the sum of the first 28 terms is exactly the sum of the elements of these first 7 groups. The sum of elements in Group k (where Group k has 1 followed by descending integers from k to 2) is given by: Sum_k = 1 + (k + (k-1) + ... + 2) = k(k+1)/2. Let's find the sum for each group: Group 1: 1; Group 2: 3; Group 3: 6; Group 4: 10; Group 5: 15; Group 6: 21; Group 7: 28. Total Sum = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 = 84. Thus, the sum of the first 28 terms is 84, matching option (b).
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
अनुक्रम 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, ... में प्रथम 28 पदों का योगफल क्या है?
सही उत्तर: (b) 84
दी गई श्रृंखला को श्रेणियों (groups) में विभाजित करके इसके प्रारूप का विश्लेषण करते हैं: श्रेणी 1: 1 (1 पद); श्रेणी 2: 1, 2 (2 पद); श्रेणी 3: 1, 3, 2 (3 पद); श्रेणी 4: 1, 4, 3, 2 (4 पद); श्रेणी 5: 1, 5, 4, 3, 2 (5 पद); श्रेणी 6: 1, 6, 5, 4, 3, 2 (6 पद); श्रेणी 7: 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (7 पद)। प्रथम 7 श्रेणियों के कुल पदों की संख्या = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 पद। अर्थात, प्रथम 28 पदों का योगफल इन पहली 7 श्रेणियों के सभी पदों के योग के बराबर होगा। किसी भी 'k' श्रेणी के पदों का योग सूत्र k(k+1)/2 द्वारा दिया जाता है। प्रत्येक श्रेणी का योगफल इस प्रकार है: श्रेणी 1: 1, श्रेणी 2: 3, श्रेणी 3: 6, श्रेणी 4: 10, श्रेणी 5: 15, श्रेणी 6: 21, श्रेणी 7: 28। कुल योगफल = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 = 84। अतः, प्रथम 28 पदों का कुल योगफल 84 होगा, जो विकल्प (b) में दिया गया है।