When a certain number is multiplied by 7, the product entirely comprises ones only (1111...). What is the smallest such number ?
Correct Option: (d) 15873
To find the smallest number which when multiplied by 7 gives a product consisting entirely of ones (1111...), we can use division or properties of repeating decimals. Notice that 1 / 7 in decimal expansion is 0.142857142857..., where the repetend is 142857. Multiplying by 7 gives 0.999999..., which relates to fractions. Alternatively, we can divide successive numbers formed by ones by 7. Let's test the given options by multiplying each by 7: Option (a) 15713 × 7 = 109991; Option (b) 15723 × 7 = 110061; Option (c) 15783 × 7 = 110481; Option (d) 15873 × 7 = 111111. Since 111111 consists entirely of ones, the number 15873 is the correct multiplier. This can also be derived by noting that 7 divides 111111 completely, and 111111 / 7 = 15873. Therefore, the correct option is (d).
हिंदी में प्रश्न एवं आदर्श उत्तर
जब किसी निश्चित संख्या को 7 से गुणा किया जाए, तो गुणनफल में पूर्ण रूप से केवल एक का अंक (1111...) ही समाविष्ट होता है । ऐसी लघुतम संख्या कौन-सी है ?
सही उत्तर: (d) 15873
वह लघुतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे 7 से गुणा करने पर गुणनफल केवल एक (1111...) प्राप्त हो, हम विकल्पों की जाँच कर सकते हैं। दी गई संख्याओं को 7 से गुणा करके देखते हैं: विकल्प (a) 15713 × 7 = 109991; विकल्प (b) 15723 × 7 = 110061; विकल्प (c) 15783 × 7 = 110481; विकल्प (d) 15873 × 7 = 111111। चूँकि गुणनफल 111111 पूर्णतः केवल एक के अंकों से बना है, इसलिए अभीष्ट संख्या 15873 है। गणितीय रूप से, संख्या 111111 को 7 से विभाजित करने पर 15873 प्राप्त होता है (चूँकि 111111 में 7 का भाग पूरी तरह जाता है)। अतः सही विकल्प (d) है।