नीचे दी गई आकृति में, AC + AB = 5AD और AC - AD = 8 है। आयत ABCD का क्षेत्रफल है
व्याख्या एवं हल
सही उत्तर (C) 60 है।
- दिए गए तथ्य: ABCD एक आयत है। मान लें AB = CD = x और BC = AD = y है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार AC = sqrt(x^2 + y^2) है। समीकरण दिए गए हैं: 1) AC + x = 5y और 2) AC - y = 8।
- चरणबद्ध हल: समीकरण (2) से, AC = y + 8 है। इसे समीकरण (1) में रखने पर: (y + 8) + x = 5y, जिससे x = 4y - 8 प्राप्त होता है। AC^2 = x^2 + y^2 में मान रखने पर: (y + 8)^2 = (4y - 8)^2 + y^2। विस्तार करने पर: y^2 + 16y + 64 = 16y^2 - 64y + 64 + y^2। सरल करने पर: 16y^2 - 80y = 0, अर्थात 16y(y - 5) = 0। यहाँ y = 5 प्राप्त होता है। तब x = 4(5) - 8 = 12। आयत का क्षेत्रफल = 12 * 5 = 60 वर्ग इकाई।
- सत्यापन: यदि भुजाएँ 12 और 5 हैं, तो विकर्ण AC = 13 होगा। जांच: AC + AB = 13 + 12 = 25 और 5AD = 5 * 5 = 25 (सही)। AC - AD = 13 - 5 = 8 (सही)। अन्य विकल्प इन ज्यामितीय शर्तों को संतुष्ट नहीं करते हैं, इसलिए वे गलत हैं।
In English (Question & Model Answer)
In the figure below, AC + AB = 5AD and AC - AD = 8. The area of the rectangle ABCD is
The correct answer is (C) 60.
- Given: ABCD is a rectangle. Let AB = CD = x and BC = AD = y. AC is the diagonal, so by Pythagoras theorem, AC = sqrt(x^2 + y^2). The equations are: 1) AC + x = 5y and 2) AC - y = 8.
- Step-by-step calculation: From equation (2), AC = y + 8. Substitute this into equation (1): (y + 8) + x = 5y, which simplifies to x = 4y - 8. Since AC^2 = x^2 + y^2, substitute the values: (y + 8)^2 = (4y - 8)^2 + y^2. Expanding both sides: y^2 + 16y + 64 = 16y^2 - 64y + 64 + y^2. Simplifying: 16y = 17y^2 - 64y, which gives 17y^2 - 80y = 0. Since y cannot be 0, 17y = 80 is incorrect; re-evaluating the geometry: the diagonal relationship AC^2 = AB^2 + BC^2 leads to (y+8)^2 = (4y-8)^2 + y^2. Solving y^2+16y+64 = 16y^2-64y+64+y^2 leads to 16y^2-80y=0 or 16y(y-5)=0. Thus y=5. Then x = 4(5)-8 = 12. Area = x * y = 12 * 5 = 60.
- Verification: With sides 12 and 5, diagonal AC is sqrt(144+25) = 13. Check: AC+AB = 13+12 = 25 and 5AD = 5*5 = 25 (Correct). AC-AD = 13-5 = 8 (Correct). Area is 60. Other options do not satisfy these geometric constraints.