p और q द्विघात समीकरण x2−(a−2)x−a−1=0x^2 - (a - 2)x - a - 1 = 0 के मूल हैं। p2+q2p^2 + q^2 का न्यूनतम संभव मान क्या है?

20192Mprelimsyear-2019p2
A.(A) 0
B.(B) 3
C.(C) 4
D.(D) 5सही
व्याख्या एवं हल

सही उत्तर (D) 5 है।

  • दिया गया द्विघात समीकरण x2 - (a - 2)x - (a + 1) = 0 है जिसके मूल p और q हैं। मूलों के गुणधर्मों से, p + q = (a - 2) और pq = -(a + 1) प्राप्त होता है। हमें p2 + q2 = (p + q)2 - 2pq का मान न्यूनतम करना है।
  • मान प्रतिस्थापित करने पर: p2 + q2 = (a - 2)2 - 2(-(a + 1)) = a2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a2 - 2a + 6। यह 'a' में एक द्विघात व्यंजक है। न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं: a2 - 2a + 1 + 5 = (a - 1)2 + 5।
  • चूंकि (a - 1)2 का मान सदैव 0 या उससे अधिक होता है, इसलिए न्यूनतम मान a = 1 पर प्राप्त होता है, जो p2 + q2 = 5 है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि वे व्युत्पन्न द्विघात फलन का न्यूनतम मान प्रदर्शित नहीं करते हैं।

In English (Question & Model Answer)

Let p and q be the roots of the quadratic equation x2−(a−2)x−a−1x^2 - (a - 2)x - a - 1 = 0. What is the minimum possible value of p2+q2p^2 + q^2?

A.(A) 0
B.(B) 3
C.(C) 4
D.(D) 5Correct

The correct answer is (D) 5.

  • Given the quadratic equation x2 - (a - 2)x - (a + 1) = 0 with roots p and q. From the properties of roots, p + q = (a - 2) and pq = -(a + 1). We need to minimize p2 + q2 = (p + q)2 - 2pq.
  • Substituting the values: p2 + q2 = (a - 2)2 - 2(-(a + 1)) = a2 - 4a + 4 + 2a + 2 = a2 - 2a + 6. This is a quadratic expression in 'a'. To find the minimum, we complete the square: a2 - 2a + 1 + 5 = (a - 1)2 + 5.
  • Since (a - 1)2 is always greater than or equal to 0, the minimum value occurs when a = 1, resulting in p2 + q2 = 5. Other options are incorrect as they do not represent the global minimum of the derived quadratic function.
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