तीन-अंकों वाली सभी संख्याओं, जो 7 से विभाज्य हैं, की संख्या है :

20242Mprelimsyear-2024p2
A.(A) 127
B.(B) 128सही
C.(C) 129
D.(D) 130
व्याख्या एवं हल

सही उत्तर (B) 128 है।

चरणबद्ध समानांतर श्रेणी हल:

  • तीन अंकों की संख्याएँ 100 से 999 तक होती हैं।
  • 7 से विभाज्य सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या = 105 (7×157 ×\times 15)।
  • 7 से विभाज्य सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या = 994 (7×1427 ×\times 142)।
  • श्रेणी: 105,112,119,…,994105, 112, 119, …\dots, 994 (a=105,d=7,an=994a = 105, d = 7, a_n = 994)।
  • सूत्र: 994=105+(n−1)7  ⟹  889=7(n−1)  ⟹  n−1=127  ⟹  n=128994 = 105 + (n - 1)7   ⟹  \implies 889 = 7(n - 1)   ⟹  \implies n - 1 = 127   ⟹  \implies n = 128।
  • अतः 7 से विभाज्य 3-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या 128 है।

In English (Question & Model Answer)

The number of all three-digit numbers that are divisible by 7 is :

A.(A) 127
B.(B) 128Correct
C.(C) 129
D.(D) 130

The correct answer is (B) 128.

Step-by-step arithmetic progression solution:

  • Three-digit numbers range from 100 to 999.
  • The smallest 3-digit number divisible by 7 is 105105 (7×157 ×\times 15).
  • The largest 3-digit number divisible by 7 is 994994 (7×1427 ×\times 142).
  • The sequence is an AP: 105,112,119,…,994105, 112, 119, …\dots, 994 with a=105,d=7,an=994a = 105, d = 7, a_n = 994.
  • an=a+(n−1)d  ⟹  994=105+(n−1)7  ⟹  889=7(n−1)a_n = a + (n - 1)d   ⟹  \implies 994 = 105 + (n - 1)7   ⟹  \implies 889 = 7(n - 1).
  • n−1=8897=127  ⟹  n=128n - 1 = 8897\frac{889}{7} = 127   ⟹  \implies n = 128.
  • Therefore, there are 128 three-digit numbers divisible by 7.
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