जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है, चार समान सिक्कों को एक वर्ग में रखा जाता है। प्रत्येक सिक्के के लिए, क्षेत्रफल से परिधि का अनुपात और परिधि से क्षेत्रफल का अनुपात बराबर है। वर्ग के उस क्षेत्रफल को प्राप्त करें, जो सिक्कों से ढका नहीं है।
व्याख्या एवं हल
सही उत्तर (C) 16(4 - ) है।
- दिया गया है: प्रत्येक सिक्के के लिए, क्षेत्रफल (A) और परिधि (C) का अनुपात = परिधि (C) और क्षेत्रफल (A) का अनुपात, अर्थात् A/C = C/A। चूँकि A = r^2 और C = 2 r, तो समीकरण r^2 / 2 r = 2 r / r^2 होता है, जिसे हल करने पर r/2 = 2/r प्राप्त होता है, जिससे r^2 = 4 और r = 2 निकलता है।
- चरणबद्ध हल: चार समान सिक्के एक वर्ग में रखे गए हैं। प्रत्येक सिक्के की त्रिज्या 2 है, अतः व्यास 4 है। चार सिक्कों को वर्ग में रखने पर वर्ग की भुजा की लंबाई 4 + 4 = 8 होगी। वर्ग का कुल क्षेत्रफल = 8^2 = 64। चार सिक्कों का कुल क्षेत्रफल = 4 * ( r^2) = 4 * ( * 2^2) = 16।
- परिणाम: सिक्कों से ढका न गया क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - चार सिक्कों का क्षेत्रफल = 64 - 16 = 16(4 - )। अन्य विकल्प वर्ग की भुजा और सिक्कों की त्रिज्या के बीच के ज्यामितीय संबंध के अनुरूप नहीं हैं।
In English (Question & Model Answer)
As shown in the figure below, four identical coins are placed in a square. For each coin, the ratio of area to circumference is same as the ratio of circumference to area. Find the area of the square that is not covered by the coins.
The correct answer is (C) 16(4 - ).
- Given: For each coin, Ratio of Area (A) to Circumference (C) = Ratio of Circumference (C) to Area (A), i.e., A/C = C/A. Since A = r^2 and C = 2 r, the equation becomes r^2 / 2 r = 2 r / r^2, which simplifies to r/2 = 2/r, resulting in r^2 = 4 and r = 2.
- Step-by-step: The four identical coins are placed in a square. Since each coin has a radius of 2, the diameter of each coin is 4. Placing four such coins in a square implies the square's side length is twice the diameter, 4 + 4 = 8. Area of the square = 8^2 = 64. Total area of four coins = 4 * ( r^2) = 4 * ( * 2^2) = 16.
- Result: The area not covered by the coins = Area of square - Area of four coins = 64 - 16 = 16(4 - ). Other options do not follow the geometric derivation of the square's side length relative to the radii of the four coins.