40 बच्चे वृत्ताकार रूप में खड़े हैं और उनमें से एक (मान लीजिए, बच्चा क्रमांक-1) के पास एक छल्ला है । इस छल्ले को दक्षिणावर्त दिशा में आगे हस्तांतरित (पास) किया जाता है । बच्चा क्रमांक-1 इस छल्ले को बच्चा क्रमांक-2 को पास करता है, बच्चा क्रमांक-2 इसे बच्चा क्रमांक-4 को पास करता है, बच्चा क्रमांक-4 इसे बच्चा क्रमांक-7 को पास करता है, और इसी क्रम में इसे आगे पास किया जाता है । ऐसे कितने परिवर्तनों (बच्चा क्रमांक-1 को मिलाकर) के बाद यह छल्ला फिर से बच्चा क्रमांक-1 के हाथों में होगा ?
सही उत्तर: 15
एक वृत्त में 40 बच्चे 1 से 40 तक दक्षिणावर्त क्रमित हैं। छल्ला इस प्रकार पास होता है: 1 से 2 (अंतर 1), 2 से 4 (अंतर 2), 4 से 7 (अंतर 3), और इसी प्रकार अंतर 1, 2, 3, 4... बढ़ता जाता है। चरणों की गणना इस प्रकार है: प्रारंभिक स्थिति = बच्चा 1, चरण 1 = बच्चा 2, चरण 2 = बच्चा 4, चरण 3 = बच्चा 7, चरण 4 = 7+4 = 11, चरण 5 = 11+5 = 16, चरण 6 = 16+6 = 22, चरण 7 = 22+7 = 29, चरण 8 = 29+8 = 37, चरण 9 = 37+9 = 46 (46 mod 40 = 6), चरण 10 = 6+10 = 16, चरण 11 = 16+11 = 27, चरण 12 = 27+12 = 39, चरण 13 = 39+13 = 52 (52 mod 40 = 12), चरण 14 = 12+14 = 26, चरण 15 = 26+15 = 41 (41 mod 40 = 1)। इस प्रकार 15 परिवर्तनों के बाद छल्ला पुनः बच्चा 1 के पास आ जाता है।
In English (Question & Model Answer)
40 children are standing in a circle and one of them (say child-1) has a ring. The ring is passed clockwise. Child-1 passes on to child-2, child-2 passes on to child-4, child-4 passes on to child-7 and so on. After how many such changes (including child-1) will the ring be in the hands of child-1 again ?
Correct Option: 15
There are 40 children arranged in a circle numbered 1 to 40 clockwise. The ring is passed according to the sequence of recipients: Child-1 passes to Child-2, Child-2 passes to Child-4, Child-4 passes to Child-7, and so on. Let us trace the position of the child holding the ring after each step (change): Start: Child-1 (0 changes, holding ring). Step 1: 1 + 1 = 2 (Child-2). Step 2: 2 + 2 = 4 (Child-4). Step 3: 4 + 3 = 7 (Child-7). Step 4: 7 + 4 = 11. Step 5: 11 + 5 = 16. Step 6: 16 + 6 = 22. Step 7: 22 + 7 = 29. Step 8: 29 + 8 = 37. Step 9: 37 + 9 = 46. Since there are 40 children in a circle, we take modulo 40. 46 mod 40 = 6 (Child-6). Step 10: 6 + 10 = 16 (Child-16). Step 11: 16 + 11 = 27 (Child-27). Step 12: 27 + 12 = 39 (Child-39). Step 13: 39 + 13 = 52 => 52 mod 40 = 12 (Child-12). Step 14: 12 + 14 = 26 (Child-26). Step 15: 26 + 15 = 41 => 41 mod 40 = 1 (Child-1). Thus, after 15 changes, the ring returns to Child-1. Option (b) is correct.