421 और 427 को जब एक ही संख्या से विभाजित किया जाता है, तो समान शेषफल 1 आता है। भाजक के रूप में कितनी संख्याओं का उपयोग किया जा सकता है ताकि शेषफल 1 ही आए?
सही उत्तर: (c) 3
मान लीजिए कि उभयनिष्ठ भाजक d है। चूंकि 421 और 427 को d से विभाजित करने पर समान शेषफल 1 प्राप्त होता है, हम लिख सकते हैं: 421 = q1 × d + 1 ⇒ 420 = q1 × d, और 427 = q2 × d + 1 ⇒ 426 = q2 × d। इसका अर्थ है कि d, 420 और 426 दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, विभाजन के नियमानुसार, भाजक हमेशा शेषफल से बड़ा होना चाहिए। चूंकि शेषफल 1 है, इसलिए भाजक d का मान 1 से बड़ा होना चाहिए (d > 1)। 420 और 426 के उभयनिष्ठ गुणनखंड इनके महत्तम समापवर्तक (GCD) के विभाजक होंगे। आइए इनका GCD ज्ञात करें: GCD(420, 426) = GCD(420, 426 - 420) = GCD(420, 6) = 6। संख्या 6 के धनात्मक विभाजक 1, 2, 3 और 6 हैं। चूंकि d > 1 होना चाहिए, इसलिए d के संभावित मान केवल 2, 3 और 6 हो सकते हैं। इस प्रकार, भाजक के रूप में केवल 3 संख्याओं का उपयोग किया जा सकता है। सही विकल्प (c) है।
In English (Question & Model Answer)
421 and 427, when divided by the same number, leave the same remainder 1. How many numbers can be used as the divisor in order to get the same remainder 1?
Correct Option: (c) 3
Let the common divisor be d. Since 421 and 427 leave the same remainder of 1 when divided by d, we can write: 421 = q1 × d + 1 ⇒ 420 = q1 × d, and 427 = q2 × d + 1 ⇒ 426 = q2 × d. This means that d must be a common factor of both 420 and 426. Additionally, for any division, the divisor must be strictly greater than the remainder. Since the remainder is 1, the divisor d must be greater than 1 (d > 1). The common factors of 420 and 426 are the divisors of their Greatest Common Divisor (GCD). Let's calculate the GCD of 420 and 426: GCD(420, 426) = GCD(420, 426 - 420) = GCD(420, 6) = 6. The positive divisors of 6 are 1, 2, 3, and 6. Since the divisor d must be strictly greater than 1, the possible values for d are 2, 3, and 6. Thus, there are exactly 3 numbers that can be used as the divisor. The correct option is (c).