ABCD कोई वर्ग है । AB और CD प्रत्येक पर एक बिंदु; और BC और DA प्रत्येक पर दो भिन्न बिंदु चुने जाते हैं । इन छह बिंदुओं में से किन्हीं तीन बिंदुओं को शीर्ष ले कर कितने भिन्न त्रिभुज खींचे जा सकते हैं ?
सही उत्तर: 20
एक वर्ग ABCD की भुजाओं पर कुल चुने गए बिंदुओं की संख्या इस प्रकार है: AB पर 1 बिंदु, CD पर 1 बिंदु, BC पर 2 बिंदु और DA पर 2 बिंदु। इस प्रकार कुल बिंदुओं की संख्या 1 + 1 + 2 + 2 = 6 है। इन 6 बिंदुओं में से कोई भी 3 बिंदु लेकर त्रिभुज बनाने के कुल तरीकों की संख्या संचय (Combination) के सूत्र C(6, 3) से निकाली जाती है: C(6, 3) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20। किसी भी तीन बिंदुओं के संरेख (collinear) होने की स्थिति तब होती जब एक ही रेखा पर 3 या अधिक बिंदु होते। चूँकि BC और DA प्रत्येक पर केवल 2-2 बिंदु ही हैं, और AB तथा CD पर 1-1 बिंदु है, इसलिए ऐसी कोई भी तीन बिंदुओं का समुच्चय नहीं है जो एक ही रेखा पर स्थित हो। अतः कोई भी संयोजन संरेखीय नहीं है। इसलिए कुल त्रिभुजों की संख्या 20 होगी। सही विकल्प (c) है।
In English (Question & Model Answer)
ABCD is a square. One point on each of AB and CD; and two distinct points on each of BC and DA are chosen. How many distinct triangles can be drawn using any three points as vertices out of these six points?
Correct Option: 20
We are given a square ABCD with sides AB, BC, CD, and DA. The points chosen are: 1 point on AB, 1 point on CD, 2 distinct points on BC, and 2 distinct points on DA. Total points = 1 + 1 + 2 + 2 = 6 points. To form a triangle, we need to choose 3 points out of these 6 points, which can be done in C(6, 3) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20 ways. However, we must subtract the cases where 3 chosen points are collinear. The collinear points are: the 2 points on BC lie on the same straight line BC, and the 2 points on DA lie on the same straight line DA. Can we choose 3 points from the 2 points on BC? No, because there are only 2 points on BC, so we cannot choose 3 points from them. Similarly, we cannot choose 3 points from the 2 points on DA. What about the 1 point on AB, 1 point on CD, and others? None of the other subsets of 3 points are collinear because no three points lie on the same side (AB and CD have only 1 point each, so choosing 3 points from them is impossible). Thus, out of the 20 total combinations of 3 points, zero combinations are collinear (since no line contains 3 or more chosen points). Therefore, the number of distinct triangles that can be drawn is exactly 20. Option (c) is correct.