एक लेत आबताकार आकृति में है जिसकी लंबाई X1 मीटर और चौड़ाई X2 मीटर है (X1 और X2 चर हैं)। यदि X1 + X2 = 40 मीटर है तो उस लेत का क्षेत्रफल निम्नलिखित किस एक मान से अधिक नहीं होगा ?
सही उत्तर: (a) 400 वर्ग मीटर
मान लीजिए कि आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः X1 और X2 मीटर है। हमें दिया गया है कि: X1 + X2 = 40 मीटर। खेत का क्षेत्रफल = X1 × X2 वर्ग मीटर। अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य (AM-GM) असमिका के अनुसार, दो धनात्मक चरों X1 और X2 के लिए: (X1 + X2) ÷ 2 ≥ √(X1 × X2). दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: 40 ÷ 2 ≥ √(X1 × X2) ⇒ 20 ≥ √(X1 × X2). दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 20^2 ≥ X1 × X2 ⇒ 400 ≥ X1 × X2. इसका अर्थ है कि खेत का अधिकतम संभावित क्षेत्रफल 400 वर्ग मीटर हो सकता है (जो तब होता है जब खेत एक वर्ग हो, अर्थात X1 = X2 = 20 मीटर)। अतः खेत का क्षेत्रफल 400 वर्ग मीटर से अधिक नहीं होगा। इसलिए विकल्प (a) सही उत्तर है।
In English (Question & Model Answer)
An agricultural field is in the form of a rectangle having length X1 meters and breadth X2 meters (X1 and X2 are variable). If X1 + X2 = 40 meters, then the area of the agricultural field will not exceed which one of the following values ?
Correct Option: (a) 400 sq m
Let the length and breadth of the rectangular agricultural field be X1 and X2 meters respectively. We are given that X1 + X2 = 40 meters. The area of the rectangular field is given by Area = X1 × X2. According to the Arithmetic Mean-Geometric Mean (AM-GM) inequality, for any non-negative real numbers X1 and X2: (X1 + X2) ÷ 2 ≥ √(X1 × X2). Substituting the given sum into the inequality: 40 ÷ 2 ≥ √(X1 × X2) ⇒ 20 ≥ √(X1 × X2). Squaring both sides of the inequality to eliminate the square root: 20^2 ≥ X1 × X2 ⇒ 400 ≥ X1 × X2. This implies that the maximum possible area of the field is 400 square meters, which occurs when the field is a square (X1 = X2 = 20 meters). Therefore, the area of the agricultural field will not exceed 400 sq m. This corresponds to option (a).