किसी डिब्बे में 14 काली गेंदें, 20 नीली गेंदें, 26 हरी गेंदें, 28 पीली गेंदें, 38 लाल गेंदें और 54 सफेद गेंदें हैं । निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए :
1. यदि डिब्बे में से यादृच्छिक रूप से कोई सी n गेंद इस प्रकार निकाली जाएँ कि उनमें कम-से-कम एक रंग का एक पूरा समूह अवश्य हो, तो n की लघुतम संख्या 175 है ।
2. यदि डिब्बे में से यादृच्छिक रूप से कोई सी m गेंद इस प्रकार निकाली जाएँ कि उनमें हर रंग की कम-से-कम एक गेंद अवश्य हो, तो m की लघुतम संख्या 167 है ।
उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/से सही है/हैं ?
सही उत्तर: (C) 1 और 2 दोनों
कथन 1 के लिए, किसी भी एक रंग का पूरा समूह न मिलने की सबसे प्रतिकूल स्थिति प्रत्येक रंग में से 1 गेंद कम निकालना है: गेंदें। इसके बाद 175वीं गेंद निकालते ही किसी न किसी रंग का पूरा समूह अवश्य पूरा हो जाएगा (कथन 1 सही है)। कथन 2 के लिए, प्रत्येक रंग की कम से कम एक गेंद सुनिश्चित करने के लिए सबसे प्रतिकूल स्थिति पाँच सबसे बड़े समूहों की सभी गेंदें निकाल लेना है: गेंदें। अगली 167वीं गेंद अनिवार्य रूप से शेष काले रंग की होगी (कथन 2 सही है)।
In English (Question & Model Answer)
A box contains 14 black balls, 20 blue balls, 26 green balls, 28 yellow balls, 38 red balls and 54 white balls. Consider the following statements:
1. The smallest number n such that any n balls drawn from the box randomly must contain one full group of at least one colour is 175.
2. The smallest number m such that any m balls drawn from the box randomly must contain at least one ball of each colour is 167.
Which of the above statements is/are correct?
Correct Answer: (C) Both 1 and 2
For Statement 1, the worst-case scenario to avoid getting a complete set of any single color is drawing one less than the full count of each color: balls. Drawing one more ball (the 175th) guarantees completing at least one color (Statement 1 is correct). For Statement 2, to guarantee drawing at least one ball of each of the 6 colors, consider the worst case where all balls of the five most numerous colors are drawn first: balls. The 167th ball drawn must be from the remaining black color (Statement 2 is correct).