X, Y और Z एक कार्य को व्यक्तिगत रूप से क्रमशः 6 घंटों, 8 घंटों और 8 घंटों में पूरा कर सकते हैं। यदि, एक ही समय पर प्रत्येक घंटे में केवल एक ही व्यक्ति काम कर सकता है और कोई भी व्यक्ति लगातार दो घंटे काम नहीं कर सकता। सभी को कार्य को पूरा करने में लगाया जाता है। इस कार्य को पूरा करने में उन्हें न्यूनतम कितना समय लगेगा?
सही उत्तर: (c) 6 घंटे 45 मिनट
मान लीजिए कि कुल कार्य X, Y और Z द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय (6 घंटे, 8 घंटे और 8 घंटे) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। LCM(6, 8, 8) = 24 इकाई। इनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमता (प्रति घंटे किया गया कार्य) इस प्रकार है: X = 24 / 6 = 4 इकाई/घंटा, Y = 24 / 8 = 3 इकाई/घंटा, और Z = 24 / 8 = 3 इकाई/घंटा। कार्य को न्यूनतम समय में पूरा करने के लिए, हमें सबसे कुशल व्यक्ति X का अधिकतम उपयोग करना होगा, लेकिन शर्त यह है कि कोई भी लगातार दो घंटे कार्य नहीं कर सकता। इसलिए, X को प्रत्येक वैकल्पिक (एकांतर) घंटे में कार्य करना चाहिए। इसे प्राप्त करने के लिए, हम विषम घंटों में X को और सम घंटों में Y तथा Z को रखते हैं: पहला घंटा: X (4 इकाई), दूसरा घंटा: Y (3 इकाई), तीसरा घंटा: X (4 इकाई), चौथा घंटा: Z (3 इकाई), पांचवां घंटा: X (4 इकाई), छठा घंटा: Y (3 इकाई)। 6 घंटों में किया गया कुल कार्य = 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 = 21 इकाई। शेष कार्य = 24 - 21 = 3 इकाई। सातवें घंटे में X कार्य करेगा। चूंकि X की क्षमता 4 इकाई/घंटा है, इसलिए वह शेष 3 इकाइयों को पूरा करने के लिए 3/4 घंटा (यानी 45 मिनट) का समय लेगा। अतः कार्य पूरा होने में न्यूनतम समय 6 घंटे 45 मिनट लगेगा। सही विकल्प (c) है।
In English (Question & Model Answer)
X, Y and Z can complete a piece of work individually in 6 hours, 8 hours and 8 hours respectively. However, only one person at a time can work in each hour and nobody can work for two consecutive hours. All are engaged to finish the work. What is the minimum amount of time that they will take to finish the work?
Correct Option: (c) 6 hours 45 minutes
Let the total work be the Least Common Multiple (LCM) of the individual times taken by X, Y, and Z, which are 6 hours, 8 hours, and 8 hours. LCM(6, 8, 8) = 24 units. The individual efficiencies (work done per hour) are: X = 24 / 6 = 4 units/hour, Y = 24 / 8 = 3 units/hour, and Z = 24 / 8 = 3 units/hour. To complete the work in the minimum time, we must maximize the work done in each hour by utilizing the most efficient worker, X, as much as possible, subject to the condition that nobody works for two consecutive hours. Thus, X must work every alternate hour. To achieve this, we schedule X in odd hours and Y and Z in even hours: Hour 1: X (4 units), Hour 2: Y (3 units), Hour 3: X (4 units), Hour 4: Z (3 units), Hour 5: X (4 units), Hour 6: Y (3 units). Total work done in 6 hours = 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 = 21 units. Remaining work = 24 - 21 = 3 units. In Hour 7, X works next. Since X's efficiency is 4 units/hour, X will take 3/4 of an hour (which is 45 minutes) to complete the remaining 3 units. Thus, the minimum time taken is 6 hours and 45 minutes. The correct option is (c).