एक डिब्बे (कैन) X में 399 लीटर पेट्रोल है और एक डिब्बे Y में 532 लीटर डीजल है। इन्हें समान आमाप (साइज) की बोतलों में अलग-अलग भरा जाना है ताकि पेट्रोल और डीजल में से प्रत्येक पूरे भरे जाएँ। बोतल की क्षमता लीटर में एक पूर्णांक है। ऐसे कितने भिन्न-भिन्न बोतल आमाप संभव हैं?
सही उत्तर: (b) 4
हमें 399 लीटर पेट्रोल और 532 लीटर डीजल दिया गया है, जिन्हें समान आकार की बोतलों में अलग-अलग भरा जाना है। प्रत्येक बोतल की क्षमता लीटर में एक पूर्णांक होनी चाहिए, मान लीजिए b। दोनों ईंधनों को बिना मिलाए पूरी तरह से बोतलों में भरने के लिए, बोतल की क्षमता b को 399 और 532 दोनों का उभयनिष्ठ भाजक होना चाहिए। 399 और 532 के उभयनिष्ठ भाजक उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) के गुणनखंड होंगे। यूक्लिडियन एल्गोरिथम द्वारा GCD ज्ञात करने पर: 532 = 399 × 1 + 133; 399 = 133 × 3 + 0। अतः, GCD(399, 532) = 133 है। बोतल के लिए संभावित पूर्णांक क्षमताएं 133 के धनात्मक गुणनखंड होंगे। 133 का अभाज्य गुणनखंडन 7 × 19 है। इस प्रकार 133 के गुणनखंड हैं: 1, 7, 19 और 133। इसलिए, कुल 4 भिन्न बोतल आकार संभव हैं। सही विकल्प (b) है।
In English (Question & Model Answer)
A can X contains 399 litres of petrol and a can Y contains 532 litres of diesel. They are to be bottled in bottles of equal size so that whole of petrol and diesel would be separately bottled. The bottle capacity in terms of litres is an integer. How many different bottle sizes are possible?
Correct Option: (b) 4
We are given 399 litres of petrol and 532 litres of diesel, to be bottled separately in equal-sized bottles. The capacity of each bottle in litres must be an integer, say b. For the petrol and diesel to be completely bottled without mixing, the bottle capacity b must be a common divisor of both 399 and 532. The common divisors of 399 and 532 are the factors of their Greatest Common Divisor (GCD). Let us find the GCD using the Euclidean algorithm: 532 = 399 × 1 + 133; 399 = 133 × 3 + 0. Thus, GCD(399, 532) = 133. The possible integer capacities for the bottles are the positive factors of 133. The prime factorization of 133 is 7 × 19. The factors (divisors) of 133 are: 1, 7, 19, and 133. Therefore, there are exactly 4 different integer bottle sizes possible. The correct option is (b).