कुछ 3-अंकीय संख्याओं की निम्नलिखित विशेषताएं हैं :
1. सभी तीन अंक भिन्न-भिन्न हैं।
2. संख्या 7 से विभाजित होती है।
3. संख्या के अंकों को उलट देने से बनने वाली संख्या भी 7 से विभाजित होती है।
ऐसी कितनी 3-अंकीय संख्याएँ हो सकती हैं?
सही उत्तर: 4
मान लीजिए कि 3-अंकीय संख्या N = 100a + 10b + c है, जहाँ a, b, और c भिन्न-भिन्न अंक हैं, तथा a != 0, c != 0. अंकों को उलटने पर संख्या R = 100c + 10b + a बनती है। चूँकि N और R दोनों 7 से विभाज्य हैं, इसलिए उनका अंतर (N - R) भी 7 से विभाज्य होना चाहिए। N - R = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99 × (a - c)। चूँकि 99, 7 से विभाज्य नहीं है, इसलिए (a - c) को 7 से विभाज्य होना होगा। चूँकि a और c भिन्न और गैर-शून्य अंक हैं, इसलिए {a, c} के संभावित जोड़े निम्नलिखित हैं: 1) {1, 8}: यहाँ N = 108 + 10b। 7 से विभाज्यता के लिए b = 6 होना चाहिए। इससे हमें संख्याएँ 168 और 861 मिलती हैं। 2) {2, 9}: यहाँ N = 209 + 10b। 7 से विभाज्यता के लिए b = 5 होना चाहिए। इससे हमें संख्याएँ 259 और 952 मिलती हैं। अतः ऐसी कुल 4 संख्याएँ (168, 861, 259, 952) संभव हैं। इसलिए सही विकल्प B है।
In English (Question & Model Answer)
Certain 3-digit numbers have the following characteristics :
1. All the three digits are different.
2. The number is divisible by 7.
3. The number on reversing the digits is also divisible by 7.
How many such 3-digit numbers are there?
Correct Option: 4
Let the 3-digit number be represented as N = 100a + 10b + c, where a, b, and c are distinct digits, and a != 0, c != 0. On reversing the digits, the number becomes R = 100c + 10b + a. Since both N and R are divisible by 7, their difference, N - R, must also be divisible by 7. N - R = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99 × (a - c). For 99 × (a - c) to be divisible by 7, and since 99 is not divisible by 7, (a - c) must be divisible by 7. Since a and c are distinct non-zero digits, the possible pairs for {a, c} are: 1) {1, 8}: Here, N = 108 + 10b. For N to be divisible by 7, b must be 6. This gives the numbers 168 and 861. Both are divisible by 7. 2) {2, 9}: Here, N = 209 + 10b. For N to be divisible by 7, b must be 5. This gives the numbers 259 and 952. Both are divisible by 7. Thus, there are exactly 4 such numbers: 168, 861, 259, and 952. The correct option is B.