किसी 3-अंकों की एक संख्या पर विचार कीजिए ।
प्रश्न : वह संख्या क्या है ?
कथन-1 : उस संख्या के अंकों का योगफल अंकों के गुणनफल के बराबर है ।
कथन-2 : वह संख्या, उस संख्या के अंकों के योगफल से विभाज्य है ।

उपर्युक्त प्रश्न और कथनों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-सा एक सही है ?

20233Mprelimsupscyear-2023p2quantitative-aptitude
A.इस प्रश्न का उत्तर, दोनों में से किसी एक कथन का अकेले उपयोग कर दिया जा सकता है, किंतु दूसरे कथन का अकेले उपयोग कर नहीं दिया जा सकता ।
B.इस प्रश्न का उत्तर, दोनों में से किसी भी एक कथन का अकेले उपयोग कर दिया जा सकता है ।
C.इस प्रश्न का उत्तर, दोनों कथनों का एक साथ उपयोग कर दिया जा सकता है, किंतु दोनों में से किसी एक कथन का अकेले उपयोग कर नहीं दिया जा सकता ।
D.इस प्रश्न का उत्तर, दोनों कथनों का एक साथ उपयोग करके भी नहीं दिया जा सकता ।सही
व्याख्या एवं हल

सही उत्तर: (D) इस प्रश्न का उत्तर, दोनों कथनों का एक साथ उपयोग करके भी नहीं दिया जा सकता ।

कथन 1 के अनुसार तीन अंकों का योग उनके गुणनफल के बराबर है (a+b+c=abca + b + c = abc)। धनात्मक अंकों का एकमात्र ऐसा समुच्चय {1,2,3}\{1, 2, 3\} है (1+2+3=61+2+3 = 6 तथा 1×2×3=61 ×\times 2 ×\times 3 = 6), जिससे छह 3-अंकीय क्रमचय बनते हैं। कथन 2 के अनुसार संख्या अंकों के योग (6) से विभाज्य है। 6 से विभाज्यता के लिए अंतिम अंक सम (2) होना चाहिए। अतः 132 (132/6=22132/6 = 22) और 312 (312/6=52312/6 = 52) दोनों संख्याएँ दोनों कथनों को संतुष्ट करती हैं। दो भिन्न मान होने के कारण दोनों कथनों को मिलाकर भी अद्वितीय संख्या ज्ञात नहीं की जा सकती।

In English (Question & Model Answer)

Consider a 3-digit number.
Question: What is the number?
Statement-1: The sum of the digits of the number is equal to the product of the digits.
Statement-2: The number is divisible by the sum of the digits of the number.

Which one of the following is correct in respect of the above Question and the Statements?

A.The Question can be answered by using one of the Statements alone, but cannot be answered using the other Statement alone.
B.The Question can be answered by using either Statement alone.
C.The Question can be answered by using both the Statements together, but cannot be answered using either Statement alone.
D.The Question cannot be answered even by using both the Statements together.Correct

Correct Answer: (D) The Question cannot be answered even by using both the Statements together.

From Statement 1, the sum of three single digits equals their product (a+b+c=abca + b + c = abc). The only set of three positive single-digit numbers satisfying this condition is {1,2,3}\{1, 2, 3\} (1+2+3=1×2×3=61+2+3 = 1 ×\times 2 ×\times 3 = 6), which permits six possible 3-digit permutations (123, 132, 213, 231, 312, 321). From Statement 2, the number is divisible by its digit sum (6). Among the permutations, any number ending with the even digit 2 is divisible by 6. This leaves two valid numbers: 132 (132/6=22132 / 6 = 22) and 312 (312/6=52312 / 6 = 52). Because both 132 and 312 satisfy both statements simultaneously, a unique number cannot be determined.

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