योगफल S = x + y + z के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए, जहाँ x, y और z में से प्रत्येक 10 से छोटी भिन्न अभाज्य संख्या है:
1. S का इकाई अंक 0 हो सकता है।
2. S का इकाई अंक 9 हो सकता है।
3. S का इकाई अंक 5 हो सकता है।
उपर्युक्त कथनों में से कौन-से सही हैं?
सही उत्तर: (c) केवल 1 और 3
हमें S = x + y + z दिया गया है, जहाँ x, y और z, 10 से छोटी भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं। 10 से छोटी अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5 और 7। चूंकि x, y और z भिन्न हैं, इसलिए हमें इन 4 संख्याओं के समुच्चय में से कोई भी 3 संख्याएँ चुननी होंगी। इसके कुल 4 संभावित संयोजन बनते हैं: 1) {2, 3, 5}: S = 2 + 3 + 5 = 10 (इकाई का अंक 0 है); 2) {2, 3, 7}: S = 2 + 3 + 7 = 12 (इकाई का अंक 2 है); 3) {2, 5, 7}: S = 2 + 5 + 7 = 14 (इकाई का अंक 4 है); 4) {3, 5, 7}: S = 3 + 5 + 7 = 15 (इकाई का अंक 5 है)। S के संभावित मान 10, 12, 14 और 15 हैं, तथा संभावित इकाई अंक 0, 2, 4 और 5 हैं। अब दिए गए कथनों का विश्लेषण करते हैं: कथन 1 के अनुसार इकाई अंक 0 हो सकता है, जो सही है (S = 10 से)। कथन 2 के अनुसार इकाई अंक 9 हो सकता है, जो गलत है क्योंकि हमारे पास 9 का कोई इकाई अंक नहीं आ रहा है। कथन 3 के अनुसार इकाई अंक 5 हो सकता है, जो सही है (S = 15 से)। अतः केवल कथन 1 और 3 सही हैं। सही विकल्प (c) है।
In English (Question & Model Answer)
Consider the following statements in respect of the sum S = x + y + z, where x, y and z are distinct prime numbers each less than 10:
1. The unit digit of S can be 0.
2. The unit digit of S can be 9.
3. The unit digit of S can be 5.
Which of the statements given above are correct?
Correct Option: (c) 1 and 3 only
We are given S = x + y + z, where x, y, and z are distinct prime numbers less than 10. The prime numbers less than 10 are: 2, 3, 5, and 7. Since x, y, and z are distinct, we must choose any 3 prime numbers from this set of 4. There are exactly 4 combinations: 1) {2, 3, 5}: S = 2 + 3 + 5 = 10 (unit digit is 0); 2) {2, 3, 7}: S = 2 + 3 + 7 = 12 (unit digit is 2); 3) {2, 5, 7}: S = 2 + 5 + 7 = 14 (unit digit is 4); 4) {3, 5, 7}: S = 3 + 5 + 7 = 15 (unit digit is 5). The possible values of S are 10, 12, 14, and 15, and the possible unit digits are 0, 2, 4, and 5. Let us analyze the given statements: Statement 1 says the unit digit can be 0, which is correct (from S = 10). Statement 2 says the unit digit can be 9, which is incorrect as 9 is not in our set of possible unit digits. Statement 3 says the unit digit can be 5, which is correct (from S = 15). Thus, only Statements 1 and 3 are correct. The correct option is (c).