7 cm × 5 cm × 3 cm विमाओं वाले एक घनाभ के क्रमशः 7 cm × 5 cm, 5 cm × 3 cm, 7 cm × 3 cm विमाओं वाले सम्मुख फलकों के प्रत्येक युग्म को लाल, हरे और नीले रंग से रंगा गया है । तब इस घनाभ को काटकर प्रत्येक 1 cm भुजा के विभिन्न घन अलग कर दिए जाते हैं । निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा/से सही है/हैं ?
1. ऐसे ठीक-ठीक 15 छोटे घन हैं जिनके किसी भी फलक पर कोई रंग नहीं है ।
2. ऐसे ठीक-ठीक 6 छोटे घन हैं जिनके ठीक-ठीक दो फलक, एक नीले और दूसरा हरे रंग से, रंगे हुए हैं ।
नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिए :
सही उत्तर: केवल 1
7 cm × 5 cm × 3 cm विमाओं वाले घनाभ को 1 cm भुजा वाले छोटे घनों में काटा जाता है। कुल छोटे घन = 7 × 5 × 3 = 105 हैं। कथन 1 का परीक्षण: 'ऐसे ठीक-ठीक 15 छोटे घन हैं जिनके किसी भी फलक पर कोई रंग नहीं है।' आंतरिक बिना रंगे घनों की संख्या (7 - 2) × (5 - 2) × (3 - 2) = 5 × 3 × 1 = 15 होती है। अतः कथन 1 बिल्कुल सही है। कथन 2 का परीक्षण: 'ऐसे ठीक-ठीक 6 छोटे घन हैं जिनके ठीक-ठीक दो फलक, एक नीले और दूसरा हरे रंग से रंगे हैं।' दो फलकों पर रंगे घन घनाभ के किनारों (edges) पर स्थित होते हैं। हरे (5 × 3) और नीले (7 × 3) फलकों के मिलने से लंबाई के समांतर 4 किनारे बनते हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई 7 cm है। प्रत्येक किनारे पर कोनों के 2 घनों को छोड़कर (जो 3 फलकों से रंगे होते हैं) (7 - 2) = 5 घन बचते हैं। ऐसे 4 किनारों पर कुल 4 × 5 = 20 घन ऐसे होंगे जिनके दो फलक हरे और नीले रंगे होंगे, न कि 6। अतः कथन 2 असत्य है। निष्कर्ष: केवल कथन 1 सही है। सही विकल्प (a) है।
In English (Question & Model Answer)
A cuboid of dimensions 7 cm × 5 cm × 3 cm is painted red, green and blue colour on each pair of opposite faces of dimensions 7 cm × 5 cm, 5 cm × 3 cm, 7 cm × 3 cm respectively. Then the cuboid is cut and separated into various cubes each of side length 1 cm. Which of the following statements is/are correct ?
1. There are exactly 15 small cubes with no paint on any face.
2. There are exactly 6 small cubes with exactly two faces, one painted with blue and the other with green.
Select the correct answer using the code given below :
Correct Option: 1 only
A cuboid of dimensions 7 cm × 5 cm × 3 cm is cut into 1 cm small cubes. Total small cubes = 7 × 5 × 3 = 105. Let us evaluate statement 1: 'There are exactly 15 small cubes with no paint on any face.' Internal cubes with no paint have dimensions (7 - 2) × (5 - 2) × (3 - 2) = 5 × 3 × 1 = 15 cubes. Thus, statement 1 is correct. Let us evaluate statement 2: 'There are exactly 6 small cubes with exactly two faces, one painted with blue and the other with green.' Two-painted cubes lie along the edges of the cuboid. The dimensions are length l = 7, breadth b = 5, height h = 3. Opposite faces 7×5 are red, 5×3 are green, 7×3 are blue. Edges formed by the intersection of green faces (5×3) and blue faces (7×3) are parallel to the length (7 cm). There are 4 such edges of length 7 cm. Excluding the 2 corner cubes on each such edge (which have 3 painted faces), each such edge has (7 - 2) = 5 inner cubes with 2 painted faces (green and blue). Since there are 4 such edges, the total number of cubes with green and blue faces is 4 × 5 = 20 cubes (not 6). Thus, statement 2 is incorrect. Therefore, only statement 1 is correct.