एक 2-अंकों वाली संख्या तथा इन अंकों के स्थानों को परस्पर बदल कर प्राप्त होने वाली संख्या का अंतर 54 है ।
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए :
1. इस संख्या के दोनों अंकों का योगफल केवल तभी निकाला जा सकता है जब दोनों अंकों का गुणनफल ज्ञात हो ।
2. इस संख्या के दोनों अंकों के बीच के अंतर को निकाला जा सकता है ।
उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/कौन-से सही है/हैं ?
सही उत्तर: (b) केवल 2
इस प्रश्न को हल करने के लिए, मान लेते हैं कि दो अंकों की संख्या 10x + y है, जहाँ x दहाई का अंक और y इकाई का अंक है। अंकों को आपस में बदलने पर प्राप्त संख्या 10y + x होगी। प्रश्न के अनुसार, इन दोनों संख्याओं का अंतर 54 है। अतः (10x + y) - (10y + x) = 54, जिससे 9x - 9y = 54 अर्थात x - y = 6 प्राप्त होता है। इससे यह स्पष्ट होता है कि दोनों अंकों के बीच का अंतर सीधे तौर पर निर्धारित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि कथन 2 सही है। कथन 1 में कहा गया है कि दोनों अंकों का योगफल केवल तभी निकाला जा सकता है जब उनका गुणनफल ज्ञात हो। किंतु अंतर (x - y = 6) से संभावित अंक युग्म (9, 3), (8, 2) और (7, 1) हो सकते हैं, जिनके योग क्रमशः 12, 10 और 8 हैं। अतः केवल अंतर से योग अद्वितीय रूप से निर्धारित नहीं होता। इस प्रकार कथन 1 गलत है और केवल कथन 2 सही है।
In English (Question & Model Answer)
The difference between a 2-digit number and the number obtained by interchanging the positions of the digits is 54.
Consider the following statements :
1. The sum of the two digits of the number can be determined only if the product of the two digits is known.
2. The difference between the two digits of the number can be determined.
Which of the above statements is/are correct ?
Correct Option: (b) 2 only
To solve this problem, let the two-digit number be represented as 10x + y, where x is the tens digit and y is the units digit. The number obtained by interchanging the digits is 10y + x. According to the question, the difference between these two numbers is 54. Therefore, (10x + y) - (10y + x) = 9x - 9y = 54, which simplifies to x - y = 6. This establishes that the difference between the two digits of the number can be determined directly as 6, meaning statement 2 is correct. Statement 1 claims that the sum of the two digits can be determined only if the product of the two digits is known. However, knowing the difference x - y = 6 alone limits the possible digit pairs (x, y) to (9, 3), (8, 2), and (7, 1). Their sums are 12, 10, and 8 respectively, which are not unique. Even without knowing the product, we know that the sum of the digits cannot be uniquely determined from the difference alone, but wait, the question asks whether the sum can be determined *only if* the product is known. With both difference and product, digits can be uniquely found. However, statement 1 is incorrect because even with the difference, the sum is not uniquely determined; more importantly, statement 2 is definitely correct.