61296^{129} x 73077^{307} संख्या के इकाई स्थान (unit place) में क्या अंक है?

20263Mprelimsupscyear-2026p2quantitative-aptitude
A.(a) 2
B.(b) 4
C.(c) 8सही
D.(d) 6
व्याख्या एवं हल

सही उत्तर: (C) 8

61296^{129} का इकाई अंक सदैव 6 ही रहेगा। 7 की घातों के इकाई अंकों की चक्रीयता 4 होती है (71→7,72→9,73→3,74→17^1 \to 7, 7^2 \to 9, 7^3 \to 3, 7^4 \to 1)। घात 307 को 4 से भाग देने पर शेषफल 307(mod4)=3307 \pmod 4 = 3 प्राप्त होता है, अतः 73077^{307} का इकाई अंक 3 होगा। दोनों के इकाई अंकों का गुणनफल 6×3=186 ×\times 3 = 18 है जिसका इकाई अंक 8 है। अतः अभीष्ट इकाई अंक 8 होगा।

In English (Question & Model Answer)

The digit in the unit place of the number 61296^{129} x 73077^{307} is

A.(a) 2
B.(b) 4
C.(c) 8Correct
D.(d) 6

Correct Answer: (C) 8

For any positive integer power, 61296^{129} always has a units digit of 6. For powers of 7, the units digits cycle every 4 powers: 71→77^1 \to 7, 72→97^2 \to 9, 73→37^3 \to 3, 74→17^4 \to 1. Evaluating the exponent modulo 4: 307≡3(mod4)307 ≡\equiv 3 \pmod 4, so 73077^{307} has a units digit of 73→37^3 \to 3. Multiplying the units digits gives 6×3=186 ×\times 3 = 18, which ends in 8. Thus, the units digit of the product is 8.

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