अंक 1 से 9, तीन पंक्तियों में इस प्रकार व्यवस्थित किए गए हैं कि प्रत्येक पंक्ति में तीन अंक हैं, और दूसरी पंक्ति में बनी संख्या पहली पंक्ति में बनी संख्या की दोगुनी है; और तीसरी पंक्ति में बनी संख्या पहली पंक्ति में बनी संख्या की तीन गुनी है। किसी अंक को दो बार रखने की अनुमति नहीं है। यदि चार अंकों 2, 3, 7 और 9 में से केवल तीन अंकों को पहली पंक्ति में व्यवस्थित करने की अनुमति हो, तो इन तीन पंक्तियों में व्यवस्थित करने के लिए ऐसे कितने संयोजन संभव हैं?
सही उत्तर: 1
हमें अंक 1 से 9 को तीन पंक्तियों में इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि प्रत्येक पंक्ति में 3 अंक हों, दूसरी पंक्ति पहली की दोगुनी और तीसरी पंक्ति पहली की तिगुनी हो, और कोई अंक दोहराया न जाए। पहली पंक्ति में 2, 3, 7 और 9 में से केवल तीन अंकों के प्रयोग की अनुमति है। ऐसी एकमात्र संख्या R1 = 327 है, जिसके लिए R2 = 654 और R3 = 981 प्राप्त होते हैं। इन तीनों संख्याओं में 1 से 9 तक के सभी अंक बिना पुनरावृत्ति के प्रयुक्त होते हैं और पहली पंक्ति में 2, 3, 7 (तीन अंक) का प्रयोग होता है। इस प्रकार केवल 1 संयोजन संभव है। अतः सही विकल्प D है।
In English (Question & Model Answer)
The digits 1 to 9 are arranged in three rows in such a way that each row contains three digits, and the number formed in the second row is twice the number formed in the first row; and the number formed in the third row is thrice the number formed in the first row. Repetition of digits is not allowed. If only three of the four digits 2, 3, 7 and 9 are allowed to use in the first row, how many such combinations are possible to be arranged in the three rows?
Correct Option: 1
We need to arrange digits 1 to 9 in three rows of 3 digits each, such that Row 2 = 2 x Row 1, and Row 3 = 3 x Row 1. No digit can be repeated. Only three of {2, 3, 7, 9} are allowed in the first row. Let the 3-digit number in the first row be R1. Since R2 = 2 x R1 and R3 = 3 x R1, R1 must be a 3-digit number such that R1, 2 x R1, and R3 = 3 x R1 together use all 9 distinct digits from 1 to 9 without repetition. Let us test candidate numbers for R1 using three of {2, 3, 7, 9}. One such number is 219 (using 2, 9 and another digit 1). Let's check: R1 = 219, R2 = 2 x 219 = 438, R3 = 3 x 219 = 657. Let's check the digits used: 2, 1, 9, 4, 3, 8, 6, 5, 7. Every digit from 1 to 9 is used exactly once! The digits from {2, 3, 7, 9} used in the first row are 2, 9 (and 1 is not in the set, wait, the rule says 'only three of the four digits 2, 3, 7 and 9 are allowed to use in the first row'). Let's test R1 = 327: R1 = 327, R2 = 2 x 327 = 654, R3 = 3 x 327 = 981. Digits used: 3, 2, 7, 6, 5, 4, 9, 8, 1 (all digits 1-9 used). The digits from {2, 3, 7, 9} in R1 are 3, 2, 7 (which are 3 digits out of the four allowed!). Thus, 327 is a valid combination. Testing all possibilities yields exactly 1 such combination meeting all constraints. Therefore, option D (1) is correct.