किसी घन के प्रत्येक फलक को काले या सफेद रंग से रंगा जा सकता है । उस घन को कितने विभिन्न तरीकों से रंगा जा सकता है?

20193Mprelimsupscyear-2019p2quantitative-aptitudequantitative-abilitygeometry-and-diagrams
A.9
B.10सही
C.11
D.12
व्याख्या एवं हल

सही उत्तर: (B) 10

बर्नसाइड लेम्मा के अनुसार, एक घन के 6 फलकों को 2 रंगों से रंगने के घूर्णन समरूपता के तहत कुल तरीके 124(26+6×23+3×24+6×23+8×22)=24024=10124\frac{1}{24} (2^6 + 6 ×\times 2^3 + 3 ×\times 2^4 + 6 ×\times 2^3 + 8 ×\times 2^2) = 24024\frac{240}{24} = 10 भिन्न पैटर्न होते हैं।

In English (Question & Model Answer)

Each face of a cube can be painted in black or white colours. In how many different ways can the cube be painted?

A.9
B.10Correct
C.11
D.12

Correct Answer: (B) 10

By Burnside's Lemma for 2 colors on the 6 faces of a cube under 24 rotational symmetries: the sum of cycle indices is 26+6(23)+3(24)+6(23)+8(22)=64+48+48+48+32=2402^6 + 6(2^3) + 3(2^4) + 6(2^3) + 8(2^2) = 64 + 48 + 48 + 48 + 32 = 240. Dividing by 24 gives 24024=1024024\frac{240}{24} = 10 distinct coloring patterns.

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