किसी परीक्षा में, चार प्रश्न-पत्रों, नामतः P, Q, R और S में से प्रत्येक प्रश्न-पत्र के लिए अधिकतम अंक 100 हैं। विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंक पूर्णांकों में हैं। कोई भी विद्यार्थी n विभिन्न तरीकों से 99% प्राप्तांक ला सकता है। n का मान क्या है ?

20233Mprelimsupscyear-2023p2quantitative-aptitudequantitative-abilityaverages
A.16
B.17
C.23
D.35सही
व्याख्या एवं हल

सही उत्तर: (D) 35

चारों प्रश्नपत्रों के कुल अधिकतम अंक 4×100=4004 ×\times 100 = 400 हैं। 99% अंक प्राप्त करने के लिए छात्र को 0.99×400=3960.99 ×\times 400 = 396 अंक चाहिए, जिसका अर्थ है कि चारों विषयों में कुल मिलाकर 400−396=4400 - 396 = 4 अंक कटे हैं। प्रत्येक विषय में कटे अंक x1,x2,x3,x4≥0x_1, x_2, x_3, x_4 ≥\ge 0 मानने पर x1+x2+x3+x4=4x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4 के अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है। सूत्र (n+r−1r)(n+r−1r)\binom{n+r-1}{r} के अनुसार कुल तरीके (4+4−14)=(74)=35(4+4−14)\binom{4+4-1}{4} = (74)\binom{7}{4} = 35 होंगे।

In English (Question & Model Answer)

In an examination, the maximum marks for each of the four papers namely P, Q, R and S are 100. Marks scored by the students are in integers. A student can score 99% in n different ways. What is the value of n ?

A.16
B.17
C.23
D.35Correct

Correct Answer: (D) 35

The total maximum score across four papers is 4×100=4004 ×\times 100 = 400 marks. Scoring 99% overall requires 0.99×400=3960.99 ×\times 400 = 396 marks, which corresponds to losing exactly 400−396=4400 - 396 = 4 marks across the four papers. Letting x1,x2,x3,x4≥0x_1, x_2, x_3, x_4 ≥\ge 0 represent marks lost in each subject, we find the number of non-negative integer solutions to x1+x2+x3+x4=4x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4. By the stars-and-bars formula, the number of ways is (4+4−14)=(74)=7×6×53×2×1=35(4+4−14)\binom{4 + 4 - 1}{4} = (74)\binom{7}{4} = 7×6×53×2×1\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35.

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