गुणनफल × × × × ... × से प्राप्त पूर्णांक के अंत में कितने शून्य हैं?
सही उत्तर: (d) 200
किसी गुणनफल के अंत में लगातार शून्यों की संख्या उसके अभाज्य गुणनखंडन में 10 की घात द्वारा निर्धारित होती है, जो कि 2 और 5 की घातों में से न्यूनतम होती है। गुणनफल P = 1^2 × 2^4 × 3^6 × ... × 25^50 में, 2 की घात 5 की घात से बहुत अधिक है। इसलिए, हमें केवल 5 की कुल घात की गणना करनी होगी। गुणनफल में वे पद जिनमें अभाज्य गुणनखंड के रूप में 5 आता है, वे हैं: 5^10, 10^20, 15^30, 20^40 और 25^50। हम इन पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं: 5^10 = 5^10; 10^20 = (2 × 5)^20 = 2^20 × 5^20; 15^30 = (3 × 5)^30 = 3^30 × 5^30; 20^40 = (4 × 5)^40 = 2^80 × 5^40; 25^50 = (5^2)^50 = 5^100। 5 की सभी घातों को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है: 5 की कुल घात = 10 + 20 + 30 + 40 + 100 = 200। अतः पूर्णांक के अंत में कुल 200 लगातार शून्य होंगे। सही विकल्प (d) है।
In English (Question & Model Answer)
How many consecutive zeros are there at the end of the integer obtained in the product × × × × ... × ?
Correct Option: (d) 200
The number of consecutive zeros at the end of a product is determined by the exponent of 10 in its prime factorization, which is the minimum of the exponents of 2 and 5. In the product P = 1^2 × 2^4 × 3^6 × ... × 25^50, the power of 2 is much higher than the power of 5. Thus, we only need to calculate the total exponent of 5. The terms in the product that contain 5 as a prime factor are: 5^10, 10^20, 15^30, 20^40, and 25^50. We can express these terms as: 5^10 = 5^10; 10^20 = (2 × 5)^20 = 2^20 × 5^20; 15^30 = (3 × 5)^30 = 3^30 × 5^30; 20^40 = (4 × 5)^40 = 2^80 × 5^40; 25^50 = (5^2)^50 = 5^100. Adding all the exponents of 5, we get: Total exponent of 5 = 10 + 20 + 30 + 40 + 100 = 200. Thus, there are exactly 200 consecutive zeros at the end of the integer. The correct option is (d).