प्राकृतिक संख्याओं के ऐसे कितने युग्म हैं, जिनके वर्गों का अंतर 63 है?
सही उत्तर: (d) 2
मान लीजिए दो प्राकृतिक संख्याएँ x और y हैं। प्रश्न के अनुसार, उनके वर्गों का अंतर 63 है: x^2 - y^2 = 63, जिसे (x - y)(x + y) = 63 लिखा जा सकता है। चूँकि x और y प्राकृतिक संख्याएँ हैं, (x - y) और (x + y) के ऐसे गुणनखंड युग्म ढूँढने हैं जिनका गुणनफल 63 हो और दोनों की समता (parity) समान हो। 63 के गुणनखंड युग्म (1, 63) और (3, 21) हैं। स्थिति 1: x - y = 1 और x + y = 63 से x = 32, y = 31 प्राप्त होता है। स्थिति 2: x - y = 3 और x + y = 21 से x = 12, y = 9 प्राप्त होता है। इस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं के ऐसे कुल 2 युग्म संभव हैं। अतः विकल्प (d) सही है।
In English (Question & Model Answer)
How many pairs of natural numbers are there such that the difference of whose squares is 63?
Correct Option: (d) 2
Let the two natural numbers be x and y. According to the problem, the difference of their squares is 63: x^2 - y^2 = 63. Using the algebraic identity for the difference of two squares, we get (x - y)(x + y) = 63. Since x and y are natural numbers, (x - y) and (x + y) must be integers. Also, (x + y) > (x - y) and both have the same parity (either both are even or both are odd, because their sum (2x) is even). We look for pairs of factors of 63 whose product is 63 and have the same parity. The factor pairs of 63 are: (1, 63) and (3, 21). Let's test each pair: Case 1: x - y = 1 and x + y = 63. Adding both equations gives 2x = 64, so x = 32. Substituting gives y = 31. (32^2 - 31^2 = 1024 - 961 = 63). Case 2: x - y = 3 and x + y = 21. Adding both equations gives 2x = 24, so x = 12. Substituting gives y = 9. (12^2 - 9^2 = 144 - 81 = 63). Thus, there are 2 such pairs of natural numbers. Option (d) is correct.